Operadores no acotados

Los operadores no acotados, como la diferenciación y la multiplicación por una función no acotada, no se definen en todo el espacio; hacerlos rigurosos requiere una atención cuidadosa a sus dominios y a la autoadjuntía.

Definition

Un operador no acotado es una aplicación lineal definida solo en un subespacio denso de un espacio de Hilbert cuya norma no está acotada; el análisis se centra en especificar su dominio y determinar si es autoadjunto, la condición requerida para una descomposición espectral.

Scope

Este tema abarca los operadores densamente definidos y el papel del dominio, los operadores cerrados y cerrables y el grafo, el adjunto de un operador no acotado, la distinción entre operadores simétricos y autoadjuntos, los criterios de autoadjuntía y autoadjuntía esencial, el teorema espectral para operadores autoadjuntos no acotados y el teorema de Stone que los vincula a los grupos unitarios.

Core questions

• ¿Por qué debe especificarse el dominio de un operador no acotado con tanta precisión?
• ¿Cómo difiere el adjunto de un operador no acotado del caso acotado?
• ¿Qué separa a un operador simétrico de uno genuinamente autoadjunto?
• ¿Cómo se extiende el teorema espectral a los operadores autoadjuntos no acotados?

Key theories

Teorema espectral para operadores autoadjuntos no acotados

Todo operador autoadjunto, acotado o no, tiene una descomposición espectral como una integral contra una medida con valores de proyección sobre su espectro real, el resultado que hace de tales operadores el modelo riguroso para los observables cuánticos.

Teorema de Stone sobre grupos unitarios de un parámetro

Los grupos de un parámetro fuertemente continuos de operadores unitarios corresponden exactamente a generadores autoadjuntos, identificando el operador autoadjunto detrás de una evolución temporal cuántica y conectándolo con la dinámica.

Clinical relevance

Los operadores autoadjuntos no acotados son los observables de la mecánica cuántica, incluyendo la posición, el momento y el hamiltoniano; la cuidadosa teoría de los dominios y la autoadjuntía determina si un sistema cuántico tiene una evolución temporal unitaria bien definida, lo que hace que el tema sea indispensable para la física matemática.

History

Von Neumann desarrolló la teoría rigurosa de los operadores autoadjuntos no acotados alrededor de 1929 para proporcionar a la mecánica cuántica fundamentos sólidos, distinguiendo los operadores simétricos de los autoadjuntos. El teorema de Stone de 1932 vinculó los generadores autoadjuntos con la evolución temporal unitaria.

Key figures

• John von Neumann
• Marshall Stone
• Hermann Weyl

Seminal works

• reedsimon1980
• schmudgen2012

Frequently asked questions

¿Por qué es tan importante el dominio de un operador no acotado?

Un operador no acotado no puede actuar sobre cada vector, por lo que se define solo en un subespacio denso; la elección de ese dominio determina si el operador es autoadjunto y, por lo tanto, si se aplican el teorema espectral y la interpretación física.

¿Cuál es la diferencia entre simétrico y autoadjunto?

Un operador simétrico concuerda con su adjunto en su dominio, pero la autoadjuntía requiere además que los dominios coincidan; solo los operadores genuinamente autoadjuntos admiten el teorema espectral y generan evoluciones unitarias.