Distribución de números primos y el teorema de los números primos

El teorema de los números primos precisa la intuición de que los números primos se diluyen logarítmicamente: el recuento de números primos hasta un límite es asintótico a ese límite dividido por su logaritmo natural.

Definition

El teorema de los números primos establece que el número de números primos que no exceden x, denotado pi de x, es asintóticamente igual a x dividido por el logaritmo natural de x, o equivalentemente al logaritmo integral de x.

Scope

Este tema abarca la función de conteo de números primos y sus asintóticas, los límites elementales de Chebyshev y las funciones sumatorias psi y theta, los teoremas de Mertens, el enunciado y la prueba analítica del teorema de los números primos a través de la no anulación de la función zeta en la línea de la parte real uno, la aproximación logarítmico-integral, los términos de error y su conexión con la hipótesis de Riemann, y las brechas entre números primos y las heurísticas de los primos gemelos.

Core questions

• ¿Cómo restringen los límites de Chebyshev y las estimaciones de Mertens la densidad de los números primos antes del teorema completo?
• ¿Por qué el teorema de los números primos es equivalente a que la función zeta no tenga ceros en la línea donde la parte real es igual a uno?
• ¿Qué tan buena es la aproximación logarítmico-integral y cómo depende el término de error de la hipótesis de Riemann?
• ¿Qué se sabe y se conjetura sobre las brechas entre números primos consecutivos, incluidos los primos gemelos?

Key theories

Teorema de los números primos

Probado independientemente por Hadamard y de la Vallée Poussin en 1896, proporciona la asintótica principal para el conteo de números primos; la declaración equivalente para la función psi de Chebyshev es la forma analíticamente natural.

Regiones libres de ceros y términos de error

El tamaño de una región libre de ceros para zeta a la izquierda de la línea de la parte real uno controla el error en el teorema de los números primos; la hipótesis de Riemann daría el error óptimo de tipo raíz cuadrada.

Brechas entre números primos y la heurística de Cramer

Las brechas promedio cerca de x son aproximadamente el logaritmo de x; las heurísticas probabilísticas predicen la distribución de brechas grandes y pequeñas, y los avances en el cribado han demostrado la existencia de infinitas brechas acotadas.

Clinical relevance

La densidad de números primos dada por el teorema indica a los criptógrafos cuántos candidatos aleatorios deben probarse para encontrar un número primo de un tamaño dado, lo que rige directamente la eficiencia de la generación de claves RSA y Diffie-Hellman.

History

Gauss y Legendre conjeturaron el recuento asintótico de números primos alrededor de 1800. Chebyshev estableció límites superiores e inferiores rigurosos en la década de 1850, Riemann esbozó la estrategia analítica en 1859, y Hadamard y de la Vallée Poussin completaron la prueba en 1896. Selberg y Erdos dieron posteriormente una prueba elemental en 1949.

Key figures

• Bernhard Riemann
• Pafnuty Chebyshev
• Jacques Hadamard
• Charles-Jean de la Vallee Poussin

Seminal works

• davenport2000

Frequently asked questions

¿El teorema de los números primos permite predecir el siguiente número primo?

No. Describe la densidad promedio de los números primos en rangos largos; no determina la ubicación de ningún número primo individual, y los números primos siguen siendo irregulares en escalas pequeñas.

¿Cómo se relaciona el teorema con la hipótesis de Riemann?

El teorema en sí es incondicional, pero la hipótesis de Riemann determinaría el error más pequeño posible en la aproximación, controlando cuánto puede desviarse el recuento real de números primos del logaritmo integral.