Ecuaciones lineales y de Pell

Las ecuaciones diofánticas lineales se resuelven completamente mediante el algoritmo euclidiano, mientras que la ecuación de Pell, que busca soluciones enteras de x al cuadrado menos d y al cuadrado igual a uno, revela la estructura profunda de los campos cuadráticos reales a través de fracciones continuas.

Definition

Una ecuación diofántica lineal busca soluciones enteras de una ecuación lineal con coeficientes enteros; la ecuación de Pell es la ecuación diofántica cuadrática x al cuadrado menos d y al cuadrado igual a uno para un entero positivo d no cuadrado, cuyas soluciones forman una familia infinita y finitamente generada.

Scope

Este tema abarca las ecuaciones diofánticas lineales en dos o más variables y su solución completa mediante el máximo común divisor y la identidad de Bezout, la ecuación de Pell y sus formas negativas y generalizadas, la expansión en fracciones continuas de irracionales cuadráticos, la solución fundamental y cómo se generan todas las soluciones a partir de ella, y la conexión con las unidades y la unidad fundamental de un campo cuadrático real.

Core questions

• ¿Cuándo tiene soluciones enteras una ecuación diofántica lineal y cómo se describe el conjunto completo de soluciones?
• ¿Por qué la ecuación de Pell siempre tiene soluciones no triviales para d no cuadrado?
• ¿Cómo produce la expansión en fracciones continuas de la raíz cuadrada de d la solución fundamental?
• ¿Cómo se generan todas las soluciones de Pell a partir de la fundamental, y cómo se relaciona esto con las unidades de un campo cuadrático?

Key theories

Solubilidad de las ecuaciones diofánticas lineales

La ecuación a x más b y igual a c tiene soluciones enteras exactamente cuando el máximo común divisor de a y b divide a c, y la identidad de Bezout proporciona entonces una solución particular y la familia completa de un parámetro.

Existencia y estructura de las soluciones de Pell

Para d no cuadrado, la ecuación de Pell tiene infinitas soluciones; existe una solución fundamental, y todas las demás se obtienen tomando potencias de la unidad correspondiente en el campo cuadrático real.

Fracciones continuas e irracionales cuadráticos

La expansión en fracciones continuas de la raíz cuadrada de d es eventualmente periódica, y sus convergentes proporcionan la solución fundamental de Pell, vinculando la solubilidad diofántica con la aproximación diofántica.

Clinical relevance

Las ecuaciones de tipo Pell y las fracciones continuas aparecen en algoritmos para calcular unidades fundamentales y reguladores de campos cuadráticos y en la aproximación de razones irracionales, con uso práctico en el diseño de calendarios, relaciones de engranajes y reducción de retículos.

History

Matemáticos indios, notablemente Brahmagupta en el siglo VII y Bhaskara II con el método chakravala, resolvieron la ecuación de Pell siglos antes que en Europa. Fermat la planteó como un desafío, y Lagrange dio la primera prueba europea completa en 1768; el nombre Pell es una atribución histórica errónea de Euler.

Key figures

• Brahmagupta
• Joseph-Louis Lagrange
• Pierre de Fermat
• John Pell

Seminal works

• hardyWright2008

Frequently asked questions

¿Por qué se llama ecuación de Pell?

Por un error histórico: Euler atribuyó la ecuación a John Pell, aunque Pell hizo poco trabajo al respecto; los avances tempranos sustanciales fueron realizados por matemáticos indios y por Fermat y Lagrange.

¿Cómo se encuentra una solución de Pell?

Se expande la raíz cuadrada de d como una fracción continua; sus convergentes periódicos producen la solución fundamental, a partir de la cual se genera cada otra solución mediante composición repetida.