Conectividad
La conectividad captura la idea de que un espacio es de una sola pieza —no puede dividirse en dos partes abiertas no vacías disjuntas— y es la razón topológica por la que se cumple el teorema del valor intermedio.
Definition
Un espacio topológico es conexo si no puede escribirse como la unión de dos conjuntos abiertos no vacíos disjuntos; es conexo por caminos si cualesquiera dos de sus puntos están unidos por un camino continuo.
Scope
Este tema define la conectividad y la noción relacionada, más fuerte, de conectividad por caminos, junto con sus versiones locales (conectividad local, conectividad por caminos local). Cubre los componentes conexos y los componentes por caminos, el comportamiento de la conectividad bajo imágenes continuas, productos y uniones, y los ejemplos de separación estándar, como la curva seno del topólogo, donde lo conexo y lo conexo por caminos divergen. Se incluye la generalización del teorema del valor intermedio a espacios conexos.
Core questions
- ¿Cuál es la diferencia precisa entre conectividad y conectividad por caminos, y cuándo coinciden?
- ¿Cómo dividen los componentes conexos un espacio arbitrario y por qué son cerrados?
- ¿Por qué la imagen continua de un espacio conexo es conexa, y cómo generaliza esto el teorema del valor intermedio?
- ¿Cómo controlan la estructura de los componentes la conectividad local y la conectividad por caminos local?
Key concepts
- Espacios conexos y disconexos
- Conectividad por caminos y componentes por caminos
- Componentes conexos y cuasi-componentes
- Conectividad local y conectividad por caminos local
- Teorema del valor intermedio como una declaración de conectividad
Clinical relevance
La conectividad es la base para contar las piezas de un espacio y es la sombra de grado cero de la homotopía y la homología; la conectividad por caminos es el requisito previo para un grupo fundamental bien definido, que vincula la topología general con la topología algebraica.
History
La idea intuitiva de que un espacio está en una sola pieza se precisó a principios del siglo XX junto con la axiomatización de los espacios topológicos; la cuidadosa separación de la conectividad de la conectividad por caminos, ilustrada por ejemplos como la curva seno del topólogo, se convirtió en una parte estándar del currículo de topología de conjuntos de puntos.
Key figures
- Camille Jordan
- Felix Hausdorff
- James Munkres
Related topics
Seminal works
- munkres2000
- kelley1955
Frequently asked questions
- ¿Implica conexo conexo por caminos?
- No. La curva seno del topólogo es conexa pero no conexa por caminos. Lo contrario sí se cumple: todo espacio conexo por caminos es conexo.
- ¿Cuándo son los componentes conexos y los componentes conexos por caminos los mismos?
- En un espacio localmente conexo por caminos, los componentes conexos y los componentes por caminos coinciden y son abiertos, razón por la cual las variedades y los subconjuntos abiertos del espacio euclidiano se comportan de manera tan simple.