Αντίστροφο Πλέγμα και Ζώνες Brillouin

Το αντίστροφο πλέγμα είναι ο εταίρος στο χώρο Fourier ενός κρυσταλλικού πλέγματος, και η κυψελίδα Wigner-Seitz του, η πρώτη ζώνη Brillouin, είναι η αρένα στην οποία εκφράζονται η περίθλαση, οι ηλεκτρονικές ζώνες και οι διασπορές φωνονίων.

Definition

Το αντίστροφο πλέγμα είναι το σύνολο των κυματοδιανυσμάτων των οποίων τα επίπεδα κύματα μοιράζονται την περιοδικότητα ενός δεδομένου πλέγματος Bravais. Η πρώτη ζώνη Brillouin είναι η πρωτογενής κυψελίδα Wigner-Seitz του αντίστροφου πλέγματος και χρησιμεύει ως το θεμελιώδες πεδίο για την κρυσταλλική ορμή.

Scope

Αυτό το θέμα κατασκευάζει το αντίστροφο πλέγμα από το άμεσο πλέγμα, συσχετίζει τα διανύσματα του αντίστροφου πλέγματος με οικογένειες πλεγματικών επιπέδων και δείκτες Miller, και δομεί την πρώτη ζώνη Brillouin ως την κυψελίδα Wigner-Seitz του αντίστροφου πλέγματος. Δείχνει πώς το αντίστροφο πλέγμα κωδικοποιεί την συνθήκη περίθλασης (Laue) και παρέχει το περιοδικό πεδίο για την κρυσταλλική ορμή που χρησιμοποιείται σε όλη τη θεωρία ζωνών και τη δυναμική πλέγματος. Συμπληρώνει την ταξινόμηση στον πραγματικό χώρο και τα πειράματα περίθλασης που εξετάζονται σε συγγενικά θέματα.

Core questions

• Πώς κατασκευάζεται το αντίστροφο πλέγμα από τα πρωτογενή διανύσματα του άμεσου πλέγματος;
• Γιατί τα διανύσματα του αντίστροφου πλέγματος αντιστοιχούν σε οικογένειες κρυσταλλικών επιπέδων και δείκτες Miller;
• Τι είναι η πρώτη ζώνη Brillouin, και γιατί είναι το φυσικό πεδίο για ποσότητες του k-χώρου;
• Πώς εκφράζει το αντίστροφο πλέγμα τη συνθήκη περίθλασης;

Key concepts

• Διανύσματα αντίστροφου πλέγματος
• Δείκτες Miller και πλεγματικά επίπεδα
• Πρώτη ζώνη Brillouin και η κυψελίδα Wigner-Seitz
• Κρυσταλλική ορμή και αναδίπλωση ζώνης
• Συνθήκη Laue στον αντίστροφο χώρο

Clinical relevance

Το αντίστροφο πλέγμα και η ζώνη Brillouin είναι απαραίτητα εργαλεία εργασίας: τα πρότυπα περίθλασης είναι χάρτες του αντίστροφου πλέγματος, οι ηλεκτρονικές δομές ζωνών και οι διασπορές φωνονίων σχεδιάζονται σε όλη τη ζώνη Brillouin, και οι επιφάνειες Fermi ορίζονται εντός αυτής.

History

Ο Ewald εισήγαγε το αντίστροφο πλέγμα ως μέσο καταγραφής για την περίθλαση το 1913, και ο Brillouin όρισε τις ζώνες που φέρουν το όνομά του το 1930 αναλύοντας την διάδοση των ηλεκτρονίων σε περιοδικά πλέγματα, δίνοντας στη θεωρία ζωνών την καθιερωμένη γεωμετρική της γλώσσα.

Key figures

• Léon Brillouin
• Paul Peter Ewald
• Eugene Wigner

Seminal works

• ashcroft1976
• kittel2005

Frequently asked questions

Γιατί να εισαχθεί καθόλου ένα αντίστροφο πλέγμα;

Επειδή μια περιοδική συνάρτηση αναπτύσσεται φυσικά σε επίπεδα κύματα των οποίων τα κυματοδιανύσματα είναι διανύσματα αντίστροφου πλέγματος. Η εργασία στον αντίστροφο χώρο μετατρέπει προβλήματα πραγματικού χώρου που μοιάζουν με συνέλιξη, όπως η περίθλαση και η διάδοση κυμάτων, σε απλή άλγεβρα.

Τι κάνει την πρώτη ζώνη Brillouin ξεχωριστή;

Είναι η μικρότερη περιοχή του αντίστροφου χώρου που περιέχει κάθε φυσικά διακριτή τιμή της κρυσταλλικής ορμής. Οποιοδήποτε κυματοδιάνυσμα εκτός αυτής διαφέρει από ένα εντός αυτής κατά ένα διάνυσμα αντίστροφου πλέγματος και είναι φυσικά ισοδύναμο.