Unbeschränkte Operatoren

Unbeschränkte Operatoren, wie Differentiation und Multiplikation mit einer unbeschränkten Funktion, sind nicht auf dem gesamten Raum definiert; ihre rigorose Behandlung erfordert sorgfältige Beachtung ihrer Definitionsbereiche und der Selbstadjungiertheit.

Definition

Ein unbeschränkter Operator ist eine lineare Abbildung, die nur auf einem dichten Unterraum eines Hilbertraums definiert ist und deren Norm nicht beschränkt ist; die Analyse konzentriert sich auf die Spezifikation ihres Definitionsbereichs und die Bestimmung, ob sie selbstadjungiert ist, die Bedingung, die für eine Spektralzerlegung erforderlich ist.

Scope

Dieses Thema behandelt dicht definierte Operatoren und die Rolle des Definitionsbereichs, abgeschlossene und abschließbare Operatoren und den Graphen, den Adjungierten eines unbeschränkten Operators, die Unterscheidung zwischen symmetrischen und selbstadjungierten Operatoren, Kriterien für Selbstadjungiertheit und wesentliche Selbstadjungiertheit, den Spektralsatz für unbeschränkte selbstadjungierte Operatoren und den Satz von Stone, der sie mit unitären Gruppen verbindet.

Core questions

• Warum muss der Definitionsbereich eines unbeschränkten Operators so sorgfältig spezifiziert werden?
• Wie unterscheidet sich der Adjungierte eines unbeschränkten Operators vom beschränkten Fall?
• Was trennt einen symmetrischen Operator von einem wirklich selbstadjungierten?
• Wie erweitert sich der Spektralsatz auf unbeschränkte selbstadjungierte Operatoren?

Key theories

Spektralsatz für unbeschränkte selbstadjungierte Operatoren

Jeder selbstadjungierte Operator, beschränkt oder unbeschränkt, besitzt eine Spektralzerlegung als Integral gegen ein projektionswertiges Maß über sein reelles Spektrum, das Ergebnis, das solche Operatoren zum rigorosen Modell für Quantenobservablen macht.

Satz von Stone über einparametrige unitäre Gruppen

Stark stetige einparametrige Gruppen unitärer Operatoren entsprechen genau selbstadjungierten Generatoren, wodurch der selbstadjungierte Operator hinter einer Quantenzeitentwicklung identifiziert und mit der Dynamik verbunden wird.

Clinical relevance

Unbeschränkte selbstadjungierte Operatoren sind die Observablen der Quantenmechanik, einschließlich Ort, Impuls und des Hamilton-Operators; die sorgfältige Theorie der Definitionsbereiche und der Selbstadjungiertheit bestimmt, ob ein Quantensystem eine wohldefinierte, unitäre Zeitentwicklung besitzt, was das Thema für die mathematische Physik unverzichtbar macht.

History

Von Neumann entwickelte um 1929 die rigorose Theorie der unbeschränkten selbstadjungierten Operatoren, um der Quantenmechanik eine solide Grundlage zu geben, indem er symmetrische von selbstadjungierten Operatoren unterschied. Stones Satz von 1932 verband selbstadjungierte Generatoren mit unitärer Zeitentwicklung.

Key figures

• John von Neumann
• Marshall Stone
• Hermann Weyl

Seminal works

• reedsimon1980
• schmudgen2012

Frequently asked questions

Warum ist der Definitionsbereich eines unbeschränkten Operators so wichtig?

Ein unbeschränkter Operator kann nicht auf jeden Vektor wirken, daher ist er nur auf einem dichten Unterraum definiert; die Wahl dieses Definitionsbereichs bestimmt, ob der Operator selbstadjungiert ist und somit, ob der Spektralsatz und die physikalische Interpretation anwendbar sind.

Was ist der Unterschied zwischen symmetrisch und selbstadjungiert?

Ein symmetrischer Operator stimmt mit seinem Adjungierten auf seinem Definitionsbereich überein, aber die Selbstadjungiertheit erfordert zusätzlich, dass die Definitionsbereiche übereinstimmen; nur wirklich selbstadjungierte Operatoren lassen den Spektralsatz zu und erzeugen unitäre Evolutionen.