Observablen und Quantenmessung

In der Quantenmechanik wird jede messbare Größe durch einen hermiteschen Operator dargestellt, dessen Eigenwerte die möglichen Ergebnisse sind; eine Messung liefert einen Eigenwert zufällig, gewichtet nach der Bornschen Regel, und überführt das System in den entsprechenden Eigenzustand.

Definition

Eine Observable ist ein selbstadjungierter Operator im Hilbertraum des Systems, dessen Eigenwerte die möglichen Messergebnisse sind; die Messung projiziert den Zustand auf einen Eigenraum und liefert den entsprechenden Eigenwert mit einer Wahrscheinlichkeit, die durch die Bornsche Regel gegeben ist.

Scope

Das Thema umfasst hermitesche und selbstadjungierte Operatoren und ihre reellen Spektren, die Eigenwertgleichung und Spektralzerlegung, Erwartungswerte und ihre Zeitabhängigkeit, kommutierende Observablen und vollständige Sätze kompatibler Observablen, das Unschärfeprinzip für nicht-kommutierende Operatoren sowie verallgemeinerte Messungen, die durch positiv-operatorwertige Maße beschrieben werden.

Core questions

• Warum müssen Observablen durch hermitesche Operatoren dargestellt werden?
• Wie werden der Durchschnitt und die Streuung wiederholter Messungen aus dem Zustand berechnet?
• Wann können zwei Observablen gleichzeitig mit beliebiger Präzision gemessen werden?
• Was besagt das Unschärfeprinzip über inkompatible Observablen?

Key concepts

• Hermitescher Operator
• Eigenwert und Eigenzustand
• Erwartungswert
• kommutierende Observablen
• vollständiger Satz kompatibler Observablen
• Heisenbergsche Unschärfe

Key theories

Spektralsatz für Observablen

Ein selbstadjungierter Operator hat reelle Eigenwerte und eine orthonormale Eigenbasis, sodass jede Observable in eine Summe oder ein Integral ihrer Eigenwerte multipliziert mit Projektoren auf die entsprechenden Eigenräume zerlegt werden kann, was genau die Struktur ist, die die Messung ausnutzt.

Unschärfeprinzip

Für zwei Observablen ist das Produkt der Standardabweichungen ihrer Messungen in jedem Zustand nach unten durch die Hälfte des Betrags des Erwartungswertes ihres Kommutators begrenzt, sodass nicht-kommutierende Größen wie Ort und Impuls nicht beide scharf definiert werden können.

Clinical relevance

Das Operatorbild der Messung liegt der Spektroskopie zugrunde, bei der gemessene Energien Operator-Eigenwerte sind, sowie der Quantenmetrologie und -tomographie, wo Erwartungswerte und Sätze kompatibler Observablen bestimmen, wie viele Informationen über einen Zustand extrahiert werden können; das Unschärfeprinzip setzt grundlegende Grenzen für die Präzision in der Sensorik und Mikroskopie.

History

Heisenberg führte seine Unschärferelation 1927 ein, und im selben Jahr nahm der Operatorformalismus Gestalt an; von Neumanns Abhandlung von 1932 gab der Messung und den selbstadjungierten Operatoren eine rigorose Grundlage, und spätere Arbeiten verallgemeinerten projektive Messungen zu positiv-operatorwertigen Maßen in der Quanteninformation.

Debates

Interpretation des Unschärfeprinzips

Ob das Unschärfeprinzip eine unvermeidliche Störung durch den Messapparat oder eine intrinsische Eigenschaft von Quantenzuständen unabhängig von der Messung widerspiegelt, wird seit Heisenberg diskutiert; moderne Messstörungsrelationen unterscheiden die beiden Begriffe.

Key figures

• Werner Heisenberg
• John von Neumann
• Paul Dirac
• Eugene Wigner

Seminal works

• vonneumann1955
• sakurai2017

Frequently asked questions

Warum müssen Observablen hermitesch sein?

Hermitesche Operatoren haben reelle Eigenwerte, was der Anforderung entspricht, dass Messergebnisse reelle Zahlen sind, und sie besitzen eine vollständige orthonormale Eigenbasis, die es der Bornschen Regel ermöglicht, einen konsistenten Satz von Ergebniswahrscheinlichkeiten zuzuordnen.

Können zwei beliebige Observablen gleichzeitig gemessen werden?

Nur wenn ihre Operatoren kommutieren; kommutierende Observablen teilen sich eine Eigenbasis und können gleichzeitig definite Werte zugewiesen bekommen, während nicht-kommutierende Observablen einer Unschärferelation unterliegen, die gleichzeitige scharfe Werte verbietet.