Siebmethoden

Siebmethoden zählen systematisch ganze Zahlen, die die Entfernung der durch eine Menge von Primzahlen teilbaren Zahlen überleben, und liefern die schärfsten verfügbaren Grenzen für Primzahlen, Primzahlzwillinge und Fastprimzahlen.

Definition

Eine Siebmethode ist eine analytisch-kombinatorische Technik, die die Größe einer Menge von ganzen Zahlen schätzt, die nach dem Löschen der durch Primzahlen aus einer ausgewählten Menge teilbaren Zahlen übrig bleiben, und liefert obere und untere Grenzen für die Anzahl von Primzahlen und Fastprimzahlen.

Scope

Dieses Thema behandelt das Inklusions-Exklusions-Sieb von Eratosthenes und Legendre und seine Grenzen, Bruns kombinatorisches Sieb, Selbergs quadratisches Obergrenzensieb, die große Siebungleichung, das Paritätsproblem, das Siebe daran hindert, Primzahlen allein zu isolieren, und Anwendungen wie Bruns Theorem, Chens Theorem und moderne Ergebnisse zu beschränkten Lücken zwischen Primzahlen.

Core questions

• Wie siebt das Inklusions-Exklusions-Sieb Vielfache aus, und warum verliert das naive Eratosthenes-Legendre-Sieb die Kontrolle über viele Siebprimzahlen?
• Wie zähmen Bruns und Selbergs Siebe die Fehlerterme, um brauchbare Grenzen zu liefern?
• Was ist das Paritätsproblem, und warum verhindert es, dass klassische Siebe Primzahlen genau zählen?
• Wie haben Siebmethoden Ergebnisse wie Bruns Konstante, Chens Theorem und beschränkte Primzahllücken hervorgebracht?

Key theories

Bruns Sieb und Bruns Theorem

Durch das Abschneiden der Inklusion-Exklusion auf einer geraden oder ungeraden Ebene erhielt Brun brauchbare obere Grenzen und bewies, dass die Summe der Kehrwerte von Primzahlzwillingen konvergiert, das erste große Siebergebnis.

Selbergs Sieb und das große Sieb

Selberg ersetzte die kombinatorische Trunkierung durch die Optimierung einer quadratischen Form für scharfe obere Grenzen, während das große Sieb starke Mittelwertschätzungen über Restklassen und Charaktere liefert.

Paritätsproblem und moderne Fortschritte

Siebe können Zahlen mit einer geraden oder ungeraden Anzahl von Primfaktoren nicht selbst unterscheiden; die Kombination von Sieben mit anderen Eingaben führt zu Chens Theorem und, neuerdings, zu unendlich vielen beschränkten Lücken zwischen Primzahlen.

Clinical relevance

Siebgrenzen quantifizieren, wie viele Fastprimzahlen und Primzahlen in bestimmten Bereichen und Progressionen liegen, und unterstützen Heuristiken, die in Faktorisierungsalgorithmen und bei der Modellierung des Angebots an kryptographisch geeigneten Primzahlen verwendet werden.

History

Die Siebtheorie begann um 1915 mit Bruns Modifikation des Eratosthenes-Siebs, die bewies, dass die reziproke Summe der Primzahlzwillinge konvergiert. Selberg führte sein optimiertes Sieb in den 1940er Jahren ein; Chen bewies 1973, dass jede große gerade Zahl eine Primzahl plus eine Fastprimzahl ist; und Zhangs Arbeit von 2013, verfeinert von Maynard und dem Polymath-Projekt, etablierte beschränkte Lücken zwischen Primzahlen.

Key figures

• Viggo Brun
• Atle Selberg
• Chen Jingrun
• Yitang Zhang

Seminal works

• iwaniecKowalski2004

Frequently asked questions

Was ist das Paritätsproblem in der Siebtheorie?

Klassische Siebe können ganze Zahlen mit einer geraden Anzahl von Primfaktoren nicht von solchen mit einer ungeraden Anzahl unterscheiden, daher können sie nicht allein beweisen, dass eine gesiebte Menge aus Primzahlen besteht; zusätzliche arithmetische Eingaben sind erforderlich.

Haben Siebmethoden die Primzahlzwillingsvermutung bewiesen?

Nicht die vollständige Vermutung. Siebe, kombiniert mit neuen Ideen, bewiesen, dass es unendlich viele Paare von Primzahlen innerhalb einer begrenzten Lücke gibt, aber zu zeigen, dass diese Lücke zwei sein kann (Primzahlzwillinge), bleibt offen.