Primzahlverteilung und der Primzahlsatz

Der Primzahlsatz präzisiert die Intuition, dass Primzahlen logarithmisch ausdünnen: Die Anzahl der Primzahlen bis zu einer Grenze ist asymptotisch gleich dieser Grenze geteilt durch ihren natürlichen Logarithmus.

Definition

Der Primzahlsatz besagt, dass die Anzahl der Primzahlen, die x nicht überschreiten, bezeichnet als pi von x, asymptotisch gleich x geteilt durch den natürlichen Logarithmus von x ist, äquivalent zum logarithmischen Integral von x.

Scope

Dieses Thema behandelt die Primzahlzählfunktion und ihre Asymptotik, Tschebyscheffs elementare Schranken und die summatorischen Funktionen Psi und Theta, Mertens' Theoreme, die Aussage und den analytischen Beweis des Primzahlsatzes über das Nichtverschwinden der Zeta-Funktion auf der Geraden mit Realteil Eins, die logarithmisch-integrale Approximation, Fehlerterme und deren Zusammenhang mit der Riemannschen Vermutung sowie Primzahllücken und Heuristiken für Primzahlzwillinge.

Core questions

• Wie beschränken Tschebyscheffs Schranken und die Mertens-Abschätzungen die Primzahldichte vor dem vollständigen Satz?
• Warum ist der Primzahlsatz äquivalent dazu, dass die Zeta-Funktion keine Nullstellen auf der Geraden hat, deren Realteil gleich Eins ist?
• Wie gut ist die logarithmisch-integrale Approximation, und wie hängt der Fehlerterm von der Riemannschen Vermutung ab?
• Was ist über Lücken zwischen aufeinanderfolgenden Primzahlen, einschließlich Primzahlzwillingen, bekannt und vermutet?

Key theories

Primzahlsatz

Unabhängig von Hadamard und de la Vallee Poussin im Jahr 1896 bewiesen, gibt er die führende Asymptotik für die Primzahlzählung an; die äquivalente Aussage für die Tschebyscheff-Psi-Funktion ist die analytisch natürliche Form.

Nullstellenfreie Gebiete und Fehlerterme

Die Größe eines nullstellenfreien Gebiets für Zeta links von der Geraden mit Realteil Eins kontrolliert den Fehler im Primzahlsatz; die Riemannsche Vermutung würde den optimalen Fehler vom Typ Quadratwurzel liefern.

Primzahllücken und die Cramer-Heuristik

Durchschnittliche Lücken nahe x sind etwa der Logarithmus von x; probabilistische Heuristiken sagen die Verteilung großer und kleiner Lücken voraus, und Fortschritte im Siebverfahren haben die Existenz unendlich vieler beschränkter Lücken bewiesen.

Clinical relevance

Die durch den Satz gegebene Dichte der Primzahlen teilt Kryptographen mit, wie viele zufällige Kandidaten getestet werden müssen, um eine Primzahl einer bestimmten Größe zu finden, was direkt die Effizienz der RSA- und Diffie-Hellman-Schlüsselgenerierung steuert.

History

Gauss und Legendre vermuteten die asymptotische Anzahl der Primzahlen um 1800. Tschebyscheff etablierte in den 1850er Jahren strenge obere und untere Schranken, Riemann skizzierte 1859 die analytische Strategie, und Hadamard und de la Vallee Poussin vollendeten den Beweis 1896. Selberg und Erdos lieferten später 1949 einen elementaren Beweis.

Key figures

• Bernhard Riemann
• Pafnuty Chebyshev
• Jacques Hadamard
• Charles-Jean de la Vallee Poussin

Seminal works

• davenport2000

Frequently asked questions

Kann man mit dem Primzahlsatz die nächste Primzahl vorhersagen?

Nein. Er beschreibt die durchschnittliche Dichte von Primzahlen über lange Bereiche; er bestimmt nicht die Position einer einzelnen Primzahl, und Primzahlen bleiben auf kleinen Skalen unregelmäßig.

Wie hängt der Satz mit der Riemannschen Vermutung zusammen?

Der Satz selbst ist bedingungslos, aber die Riemannsche Vermutung würde den kleinstmöglichen Fehler in der Approximation festlegen und kontrollieren, wie weit die tatsächliche Primzahlanzahl vom logarithmischen Integral abweichen kann.