Bahndrehimpuls

Der Bahndrehimpuls ist die Quantenversion der Rotationsbewegung eines Teilchens um ein Zentrum; seine Größe und eine Projektion werden gleichzeitig durch ganzzahlige Quantenzahlen quantisiert, und seine Eigenfunktionen sind die Kugelfunktionen.

Definition

Der Bahndrehimpuls ist der Quantenoperator, der dem Kreuzprodukt aus Ort und Impuls entspricht, dessen Betragsquadrat und eine Komponente gleichzeitig mit ganzzahligen Quantenzahlen quantisiert sind und dessen Eigenfunktionen die Kugelfunktionen sind.

Scope

Das Thema behandelt die Bahndrehimpulsoperatoren, die aus Ort und Impuls gebildet werden, ihre Kommutationsrelationen und die daraus resultierende ganzzahlige Quantisierung von Größe und Projektion, die Kugelfunktionen als simultane Eigenfunktionen, die Rolle von Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren sowie das Auftreten des Bahndrehimpulses im Winkelanteil jedes Zentralkraftproblems.

Core questions

• Wie werden die Bahndrehimpulsoperatoren aus Ort und Impuls konstruiert?
• Warum ist der Bahndrehimpuls auf ganzzahlige Quantenzahlen beschränkt?
• Was sind die Kugelfunktionen und warum beschreiben sie Winkelwellenfunktionen?
• Wie geht der Bahndrehimpuls in Zentralkraftprobleme ein?

Key concepts

• Drehimpulsoperatoren
• azimutal Quantenzahl
• magnetische Quantenzahl
• Kugelfunktionen
• Zentralkraftproblem
• Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren

Key theories

Ganzzahlige Quantisierung der Orbitalbewegung

Die Bahndrehimpulsoperatoren erben die allgemeine Drehimpulsalgebra, aber die Anforderung, dass räumliche Wellenfunktionen bei Rotation eindeutig sein müssen, beschränkt die Betrags- und Projektionsquantenzahlen auf ganze Zahlen, im Gegensatz zum intrinsischen Spin.

Kugelfunktionen

Die simultanen Eigenfunktionen des Betragsquadrats und einer Projektion des Bahndrehimpulses sind die Kugelfunktionen, ein orthonormiertes Funktionensystem auf der Kugel, das den Winkelfaktor der Wellenfunktion in jedem kugelsymmetrischen Problem bildet.

Clinical relevance

Der Bahndrehimpuls kennzeichnet die Formen atomarer Orbitale als s, p, d und f, organisiert das Periodensystem und die Auswahlregeln für spektrale Übergänge und prägt die Rotationsspektren von Molekülen, die in der Chemie und Astrophysik untersucht werden.

History

Kugelfunktionen entstanden in der klassischen Potentialtheorie bei Laplace und Legendre; Sommerfelds Quantisierung und dann Schrödingers Lösung von Zentralkraftproblemen im Jahr 1926 offenbarten sie als die natürlichen Eigenfunktionen des quantisierten Bahndrehimpulses.

Key figures

• Pierre-Simon Laplace
• Arnold Sommerfeld
• Erwin Schrodinger

Seminal works

• sakurai2017
• cohentannoudji2019

Frequently asked questions

Warum ist der Bahndrehimpuls in ganzen Zahlen quantisiert, während der Spin halbganzzahlig sein kann?

Der Bahndrehimpuls wirkt auf räumliche Wellenfunktionen, die nach einer vollständigen Rotation zu sich selbst zurückkehren müssen, was ganzzahlige Quantenzahlen erzwingt; der Spin hat keine räumliche Wellenfunktion und ist nicht durch Eindeutigkeit eingeschränkt, sodass er halbganzzahlige Werte annehmen kann.

Kann der vollständige Bahndrehimpulsvektor auf einmal bekannt sein?

Nein; die drei Komponenten kommutieren nicht, sodass nur der Gesamtbetrag und eine gewählte Projektion gleichzeitig spezifiziert werden können, während die anderen beiden Komponenten unbestimmt bleiben, eine direkte Konsequenz der Drehimpulsalgebra.