Lineare und Pell-Gleichungen

Lineare diophantische Gleichungen werden vollständig durch den euklidischen Algorithmus gelöst, während die Pell-Gleichung, die nach ganzzahligen Lösungen von x Quadrat minus d y Quadrat gleich eins fragt, die tiefe Struktur reeller quadratischer Zahlkörper durch Kettenbrüche offenbart.

Definition

Eine lineare diophantische Gleichung sucht ganzzahlige Lösungen einer linearen Gleichung mit ganzzahligen Koeffizienten; die Pell-Gleichung ist die quadratische diophantische Gleichung x Quadrat minus d y Quadrat gleich eins für eine nicht-quadratische positive ganze Zahl d, deren Lösungen eine unendliche, endlich erzeugte Familie bilden.

Scope

Dieses Thema behandelt lineare diophantische Gleichungen mit zwei oder mehr Variablen und deren vollständige Lösung mittels größter gemeinsamer Teiler und der Bézout-Identität, die Pell-Gleichung sowie ihre negativen und verallgemeinerten Formen, die Kettenbruchentwicklung quadratischer Irrationalzahlen, die Fundamentallösung und wie alle Lösungen daraus generiert werden, sowie die Verbindung zu den Einheiten und der Fundamentaleinheit eines reellen quadratischen Zahlkörpers.

Core questions

• Wann hat eine lineare diophantische Gleichung ganzzahlige Lösungen, und wie wird die vollständige Lösungsmenge beschrieben?
• Warum hat die Pell-Gleichung für nicht-quadratisches d immer nichttriviale Lösungen?
• Wie erzeugt die Kettenbruchentwicklung der Quadratwurzel aus d die Fundamentallösung?
• Wie werden alle Pell-Lösungen aus der Fundamentallösung generiert, und wie hängt dies mit den Einheiten eines quadratischen Zahlkörpers zusammen?

Key theories

Lösbarkeit linearer diophantischer Gleichungen

Die Gleichung a x plus b y gleich c hat genau dann ganzzahlige Lösungen, wenn der größte gemeinsame Teiler von a und b c teilt, und die Bézout-Identität liefert dann eine spezielle Lösung und die vollständige einparametrige Familie.

Existenz und Struktur von Pell-Lösungen

Für nicht-quadratisches d hat die Pell-Gleichung unendlich viele Lösungen; eine Fundamentallösung existiert, und alle anderen werden durch Potenzieren der entsprechenden Einheit im reellen quadratischen Zahlkörper erhalten.

Kettenbrüche und quadratische Irrationalzahlen

Die Kettenbruchentwicklung der Quadratwurzel aus d ist schließlich periodisch, und ihre Konvergenten liefern die fundamentale Pell-Lösung, wodurch die diophantische Lösbarkeit mit der diophantischen Approximation verknüpft wird.

Clinical relevance

Pell-ähnliche Gleichungen und Kettenbrüche treten in Algorithmen zur Berechnung von Fundamentaleinheiten und Regulatoren quadratischer Zahlkörper sowie bei der Approximation irrationaler Verhältnisse auf, mit praktischer Anwendung im Kalenderdesign, bei Getriebeübersetzungen und der Gitterreduktion.

History

Indische Mathematiker, insbesondere Brahmagupta im siebten Jahrhundert und Bhaskara II. mit der Chakravala-Methode, lösten die Pell-Gleichung Jahrhunderte vor Europa. Fermat stellte sie als Herausforderung, und Lagrange lieferte 1768 den ersten vollständigen europäischen Beweis; der Name Pell ist eine historische Fehlzuschreibung durch Euler.

Key figures

• Brahmagupta
• Joseph-Louis Lagrange
• Pierre de Fermat
• John Pell

Seminal works

• hardyWright2008

Frequently asked questions

Warum wird sie Pell-Gleichung genannt?

Aufgrund eines historischen Irrtums: Euler schrieb die Gleichung John Pell zu, obwohl Pell kaum daran gearbeitet hatte; die wesentlichen frühen Fortschritte wurden von indischen Mathematikern sowie von Fermat und Lagrange erzielt.

Wie findet man eine Pell-Lösung?

Man entwickelt die Quadratwurzel aus d als Kettenbruch; ihre periodischen Konvergenten ergeben die Fundamentallösung, aus der jede andere Lösung durch wiederholte Komposition generiert wird.