Hierarchische Bayes'sche Modelle
Hierarchische Bayes'sche Modelle teilen Informationen über verwandte Einheiten, indem sie deren Parametern eine gemeinsame Prioriverteilung zuweisen, was zu einem partiellen Pooling führt, das die Schätzungen für jede Gruppe verbessert.
Definition
Ein hierarchisches Bayes'sches Modell legt eine Prioriverteilung für gruppenspezifische Parameter fest, die selbst von Parametern höherer Ebene mit eigenen (Hyper-)Prioriverteilungen abhängt, sodass Informationen zwischen Gruppen ausgetauscht werden und Unsicherheit sich durch alle Ebenen der Hierarchie ausbreitet.
Scope
Dieser Bereich umfasst die Struktur von Mehrebenenmodellen und partielles Pooling, die Rolle von Hyper-Priorisierungen für Parameter auf Populationsebene, die daraus resultierende Schrumpfung von Gruppenschätzungen in Richtung des Gesamtmittelwerts und die empirische Bayes-Approximation, die die Prioriverteilung aus den Daten schätzt.
Sub-topics
Core questions
- Wie induziert eine hierarchische Prioriverteilung partielles Pooling über Gruppen hinweg?
- Welche Rolle spielen Hyperparameter und Hyper-Prioriverteilungen im Modell?
- Warum und wie werden Schätzungen auf Gruppenebene in Richtung des Populationsmittelwerts geschrumpft?
- Wie approximiert empirisches Bayes eine vollständige hierarchische Analyse?
Key concepts
- Mehrebenenmodell
- partielles Pooling
- Hyperparameter
- Hyper-Prioriverteilung
- Schrumpfung
- Zufallseffekte
- empirisches Bayes
- Informationsaustausch
Key theories
- Partielles Pooling
- Durch die gemeinsame Schätzung von Gruppenparametern unter einer geteilten Prioriverteilung interpolieren hierarchische Modelle zwischen keinem Pooling und vollständigem Pooling, wobei der Grad des Poolings durch die Daten bestimmt wird.
- Schrumpfung und Steins Effekt
- Das Schrumpfen von Gruppenschätzungen in Richtung des Populationsmittelwerts reduziert den gesamten Schätzfehler, ein Phänomen, das mit der Unzulässigkeit des Stichprobenmittelwerts in mehreren Dimensionen, wie durch Steins Schätzer demonstriert, verbunden ist.
Clinical relevance
Hierarchische Modelle sind das Standardwerkzeug für Metaanalysen, multizentrische klinische Studien, Kleinraumspezifikation und jede Situation mit vielen verwandten Gruppen, da partielles Pooling Schätzungen stabilisiert, wo Daten spärlich sind.
History
Lindley und Smith formalisierten 1972 das Bayes'sche lineare hierarchische Modell, aufbauend auf den Arbeiten von Stein und empirischen Bayes aus den 1950er bis 1970er Jahren, die die Vorteile der Schrumpfung aufzeigten. Spätere rechnerische Fortschritte machten die vollständig Bayes'sche hierarchische Modellierung in angewandten Bereichen routinemäßig.
Debates
- Prioriverteilungen für Varianzkomponenten
- Die Wahl der Hyper-Prioriverteilung für Varianzen auf Gruppenebene beeinflusst die Schrumpfung stark, wenn die Gruppenanzahl gering ist, und es gibt eine fortlaufende Diskussion darüber, welche schwach informativen Prioriverteilungen am besten funktionieren.
Key figures
- Dennis Lindley
- Adrian Smith
- Bradley Efron
- Carl Morris
- Andrew Gelman
Related topics
Seminal works
- gelman2013
- efron1975
Frequently asked questions
- Was ist partielles Pooling?
- Partielles Pooling schätzt den Parameter jeder Gruppe unter Verwendung sowohl ihrer eigenen Daten als auch von Informationen aus den anderen Gruppen durch eine gemeinsame Prioriverteilung, wodurch Schätzungen zwischen vollständig getrennten (kein Pooling) und vollständig kombinierten (vollständiges Pooling) Analysen erzeugt werden.
- Warum werden hierarchische Schätzungen 'geschrumpft'?
- Weil die gemeinsame Prioriverteilung die Schätzung jeder Gruppe in Richtung des Gesamtmittelwerts zieht, und zwar um einen Betrag, der davon abhängt, wie verrauscht die Daten dieser Gruppe sind; verrauschtere Gruppen werden stärker geschrumpft, was den Gesamtfehler reduziert.