Divisoren und Riemann-Roch

Divisoren erfassen die Nullstellen und Pole von Funktionen auf einer Varietät, Geradenbündel verpacken sie geometrisch, und der Satz von Riemann-Roch zählt die Funktionen mit vorgeschriebenem Polverhalten anhand geometrischer Invarianten.

Definition

Ein Divisor auf einer Varietät ist eine formale Kombination von Untervarietäten der Kodimension eins, die Nullstellen und Pole kodiert; Geradenbündel sind ihre geometrischen Gegenstücke, und der Satz von Riemann-Roch setzt die Dimension des Raums der Schnitte eines Divisors in Beziehung zu seinem Grad, dem Geschlecht und dem kanonischen Divisor.

Scope

Dieses Thema entwickelt Weil- und Cartier-Divisoren, lineare Äquivalenz, die Divisorenklassengruppe und die Picard-Gruppe sowie die Korrespondenz zwischen Divisoren und Geradenbündeln (invertierbaren Garben). Es behandelt lineare Systeme und die von ihnen definierten Abbildungen in den projektiven Raum, den kanonischen Divisor und das Geschlecht einer Kurve, gipfelnd im Satz von Riemann-Roch für Kurven und der Rolle der Serre-Dualität. Höherdimensionale und Grothendieck-Hirzebruch-Verallgemeinerungen werden als natürliche Erweiterung angedeutet.

Core questions

• Wie kodieren Weil- und Cartier-Divisoren das Nullstellen- und Polverhalten rationaler Funktionen?
• Warum sind Divisoren bis auf lineare Äquivalenz dieselben Daten wie Geradenbündel?
• Wie bestimmen lineare Systeme Abbildungen von einer Varietät in den projektiven Raum?
• Was berechnet der Satz von Riemann-Roch, und wie kommt die Serre-Dualität ins Spiel?

Key concepts

• Weil- und Cartier-Divisoren; lineare Äquivalenz
• Divisorenklassengruppe und die Picard-Gruppe
• Geradenbündel (invertierbare Garben) und lineare Systeme
• Kanonscher Divisor und Geschlecht einer Kurve
• Satz von Riemann-Roch und Serre-Dualität

Clinical relevance

Divisoren und Riemann-Roch sind das rechnerische Herzstück der Theorie der Kurven und liegen der Konstruktion fehlerkorrigierender Goppa-Codes, der Arithmetik elliptischer Kurven und der Klassifikation algebraischer Flächen und höherdimensionaler Varietäten zugrunde.

History

Riemanns Ungleichung über die Dimension von Funktionsräumen (1857) wurde von seinem Schüler Roch zum Satz von Riemann-Roch vervollständigt; Hirzebruchs Verallgemeinerung Mitte des 20. Jahrhunderts und Grothendiecks relative Version betteten ihn in die moderne kohomologische algebraische Geometrie ein.

Key figures

• Bernhard Riemann
• Gustav Roch
• Friedrich Hirzebruch

Seminal works

• hartshorne1977
• eisenbud1995

Frequently asked questions

Welche Beziehung besteht zwischen Divisoren und Geradenbündeln?

Auf einer glatten Varietät entsprechen Divisoren bis auf lineare Äquivalenz genau den Isomorphieklassen von Geradenbündeln; die Klasse eines Divisors in der Picard-Gruppe ist das Geradenbündel, dessen Schnitte entlang dieses Divisors verschwinden.

Was besagt der Satz von Riemann-Roch?

Für einen Divisor auf einer glatten projektiven Kurve gibt er die Dimension des Raums rationaler Funktionen mit durch den Divisor begrenzten Polen in Abhängigkeit vom Grad des Divisors und dem Geschlecht der Kurve an, ein fundamentales Zählergebnis.