Kohomologie

Die Kohomologie dualisiert die Homologie, um einem Raum Koketten zuzuordnen, und besitzt entscheidend eine Ringstruktur – das Cup-Produkt –, die Räume unterscheidet, die die Homologie allein nicht unterscheiden kann.

Definition

Die Kohomologie ordnet einem Raum eine Sequenz abelscher Gruppen zu, die als Zyklen modulo Ränder im Kokettenkomplex erhalten werden, der dual zum singulären Kettenkomplex ist; mit dem Cup-Produkt bildet sie einen graduiert-kommutativen Ring, der eine feinere Invariante als die Homologie ist.

Scope

Dieses Thema entwickelt die Kohomologie als Homologie des dualen Kokettenkomplexes, die durch den universellen Koeffizientensatz mit der Homologie in Beziehung steht, und fügt die multiplikative Struktur hinzu, die durch das Cup-Produkt gegeben ist und die gesamte Kohomologie zu einem graduierten Ring macht. Es behandelt die de Rham-Kohomologie auf glatten Mannigfaltigkeiten und ihre Identifizierung mit der singulären Kohomologie über den Satz von de Rham, die Cup- und Cap-Produkte sowie die Poincaré-Dualität, die die Kohomologie einer orientierten geschlossenen Mannigfaltigkeit mit ihrer Homologie in Beziehung setzt. Der Künneth-Satz und Anwendungen von charakteristischen Klassen sind ebenfalls enthalten.

Core questions

• Wie steht die Kohomologie durch den universellen Koeffizientensatz mit der Homologie in Beziehung?
• Welche zusätzlichen Informationen kodiert die Cup-Produkt-Ringstruktur über die zugrunde liegenden Gruppen hinaus?
• Wie verbindet die Poincaré-Dualität die Kohomologie und Homologie einer orientierten geschlossenen Mannigfaltigkeit?
• Warum identifiziert der Satz von de Rham die Kohomologie glatter Differentialformen mit der topologischen Kohomologie?

Key concepts

• Kokettenkomplexe und der universelle Koeffizientensatz
• Cup-Produkt und der Kohomologiering
• Cap-Produkt und Poincaré-Dualität
• de Rham-Kohomologie und der Satz von de Rham
• Künneth-Satz für Produkte

Clinical relevance

Der Kohomologiering ist der natürliche Ort für charakteristische Klassen, Obstruktionstheorie und Schnittprodukte, was die Kohomologie zentral für die Differentialgeometrie, die Topologie von Faserbündeln und die Eichfeldtheorie in der mathematischen Physik macht.

History

Die Kohomologie entstand in den 1930er Jahren aus den Arbeiten von de Rham, Čech, Alexander und Kolmogorow; das von Whitney und anderen eingeführte Cup-Produkt offenbarte eine multiplikative Struktur, die für die Homologie unsichtbar war, und der Satz von de Rham verband die glatten und topologischen Theorien miteinander und festigte die zentrale Rolle der Kohomologie.

Key figures

• Georges de Rham
• Eduard Čech
• Hassler Whitney

Seminal works

• hatcher2002
• bredon1993

Frequently asked questions

Warum Kohomologie verwenden, wenn die Homologie bereits Löcher erkennt?

Die Kohomologie besitzt über das Cup-Produkt eine Ringstruktur, die der Homologie fehlt; Räume mit identischen Homologiegruppen können unterschiedliche Kohomologieringe aufweisen, daher ist die Kohomologie eine streng feinere Invariante.

Was besagt die Poincaré-Dualität?

Für eine orientierte geschlossene n-Mannigfaltigkeit ist die k-te Kohomologie isomorph zur (n-k)-ten Homologie; geometrisch paart sie Zyklen mit Zyklen komplementärer Dimension durch Schnitt.