Differenzierbare Mannigfaltigkeiten

Eine differenzierbare Mannigfaltigkeit ist ein Raum, der lokal wie ein euklidischer Raum aussieht und durch glatte Koordinatenwechsel zusammengefügt wird, wodurch sie den Rahmen bildet, in dem Analysis auf gekrümmten Räumen durchgeführt werden kann.

Definition

Eine differenzierbare (glatte) Mannigfaltigkeit der Dimension n ist ein zweitabzählbarer Hausdorffscher topologischer Raum, ausgestattet mit einem Atlas von Karten zu offenen Teilmengen des n-dimensionalen euklidischen Raums, deren Übergangsabbildungen unendlich oft differenzierbar sind.

Scope

Dieses Thema definiert Mannigfaltigkeiten mittels Atlanten von Karten mit glatten Übergangsabbildungen, entwickelt glatte Strukturen und behandelt die grundlegenden Konstruktionen: Untermannigfaltigkeiten, den Rang- und den regulären Wertesatz, die Niveaumengen als Mannigfaltigkeiten ergeben, Zerlegungen der Eins und Einbettungen in den euklidischen Raum (der Whitney-Einbettungssatz). Es führt die Unterscheidung zwischen topologischen und glatten Strukturen, die überraschende Existenz exostischer glatter Strukturen und Lie-Gruppen als Mannigfaltigkeiten mit kompatiblen Gruppenoperationen ein.

Core questions

• Wie ermöglichen Karten und glatte Übergangsabbildungen, dass die Analysis eindeutig auf einen gekrümmten Raum übertragen werden kann?
• Wann trägt eine Niveaumenge einer glatten Abbildung eine natürliche Mannigfaltigkeitsstruktur?
• Warum kann jede glatte Mannigfaltigkeit in einen euklidischen Raum eingebettet werden?
• Wie kann eine einzelne topologische Mannigfaltigkeit inäquivalente glatte Strukturen zulassen?

Key concepts

• Karten, Atlanten und glatte Übergangsabbildungen
• Glatte Strukturen und Untermannigfaltigkeiten
• Regulärer Wertesatz und Niveaumengen als Mannigfaltigkeiten
• Zerlegungen der Eins und der Whitney-Einbettungssatz
• Topologische versus glatte Struktur und exotische Mannigfaltigkeiten

Clinical relevance

Mannigfaltigkeiten sind die universelle Bühne für die moderne Geometrie und Physik: Konfigurations- und Phasenräume in der Mechanik, die Raumzeit in der allgemeinen Relativitätstheorie und Lie-Gruppen in der Symmetrie sind alles Mannigfaltigkeiten, und die von Milnor aufgedeckten Feinheiten der glatten Struktur haben die Topologie des zwanzigsten Jahrhunderts neu gestaltet.

History

Riemanns Vorstellung einer Mannigfaltigkeit aus dem Jahr 1854 wurde durch die Definition mittels Atlanten im frühen 20. Jahrhundert präzisiert; Whitneys Einbettungssätze der 1930er Jahre untermauerten die abstrakte Theorie, und Milnors Entdeckung exotischer 7-Sphären im Jahr 1956 zeigte, dass die glatte Struktur Informationen jenseits der Topologie trägt.

Key figures

• Bernhard Riemann
• Hassler Whitney
• John Milnor

Seminal works

• lee2012
• milnor1956

Frequently asked questions

Was macht eine Mannigfaltigkeit differenzierbar und nicht nur topologisch?

Eine topologische Mannigfaltigkeit erfordert lediglich Karten in den euklidischen Raum; eine differenzierbare Mannigfaltigkeit erfordert zusätzlich, dass die Übergangsabbildungen zwischen überlappenden Karten glatt sind, damit der Begriff einer glatten Funktion auf der Mannigfaltigkeit wohldefiniert ist.

Was ist eine exotische Sphäre?

Es ist eine Mannigfaltigkeit, die homöomorph, aber nicht diffeomorph zur Standardsphäre ist; Milnors Entdeckung solcher Strukturen auf der 7-Sphäre zeigte, dass glatte Strukturen nicht durch die zugrunde liegende Topologie bestimmt werden.