নাম্বার ফিল্ড এবং ইন্টিজার রিং
একটি নাম্বার ফিল্ড হলো র্যাশনাল নাম্বারের একটি সসীম এক্সটেনশন, এবং এর ইন্টিজার রিং হলো সাধারণ ইন্টিজারের স্বাভাবিক গাণিতিক অ্যানালগ — একটি ডেডেকিন্ড ডোমেইন যেখানে উপাদান নয়, বরং আইডিয়ালগুলি অনন্যভাবে ফ্যাক্টর করে।
Definition
একটি নাম্বার ফিল্ড হলো র্যাশনাল নাম্বারের একটি সসীম-ডিগ্রি ফিল্ড এক্সটেনশন; এর ইন্টিজার রিং এমন উপাদান নিয়ে গঠিত যা ইন্টিজার সহগ সহ মনিক পলিনোমিয়ালের মূল, যা একটি ডেডেকিন্ড ডোমেইন গঠন করে।
Scope
এই টপিকটি অ্যালজেব্রাইক নাম্বার এবং অ্যালজেব্রাইক ইন্টিজার, নাম্বার ফিল্ড এবং তাদের ডিগ্রি ও এম্বেডিং, ইন্টিজার রিংকে ফিল্ডে ইন্টিজারের ইন্টিগ্রাল ক্লোজার হিসাবে, ইন্টিগ্রাল বেসিস এবং ফিল্ড ডিসক্রিমিন্যান্ট, ডেডেকিন্ড ডোমেইন হিসাবে ইন্টিজার রিংগুলির বৈশিষ্ট্য, এবং নন-জিরো আইডিয়ালগুলির প্রাইম আইডিয়ালগুলিতে অনন্য ফ্যাক্টরাইজেশন নিয়ে আলোচনা করে।
Core questions
- একটি নাম্বার ফিল্ডের কোন উপাদানগুলি ইন্টিজার হিসাবে গণ্য হয় এবং কেন তারা একটি রিং গঠন করে?
- একটি ইন্টিগ্রাল বেসিস কী, এবং একটি নাম্বার ফিল্ডের ডিসক্রিমিন্যান্ট কীভাবে সংজ্ঞায়িত ও গণনা করা হয়?
- কোন বৈশিষ্ট্যগুলি ইন্টিজার রিংকে একটি ডেডেকিন্ড ডোমেইন করে তোলে?
- আইডিয়ালগুলির অনন্য ফ্যাক্টরাইজেশন কীভাবে উপাদানগুলির অনন্য ফ্যাক্টরাইজেশনকে প্রতিস্থাপন করে?
Key theories
- ইন্টিজার রিং এবং ইন্টিগ্রাল ক্লোজার
- একটি নাম্বার ফিল্ডের অ্যালজেব্রাইক ইন্টিজারগুলি এর ইন্টিজার রিং গঠন করে, যা ফিল্ডে ইন্টিজারের ইন্টিগ্রাল ক্লোজার; এটি ফিল্ড ডিগ্রির সমান র্যাঙ্কের একটি ফ্রি মডিউল, যার একটি ইন্টিগ্রাল বেসিস রয়েছে।
- ডেডেকিন্ড ডোমেইন এবং আইডিয়ালগুলির ফ্যাক্টরাইজেশন
- ইন্টিজার রিংগুলি নোথেরিয়ান, ইন্টিগ্রালি ক্লোজড, এক মাত্রার — অর্থাৎ, ডেডেকিন্ড ডোমেইন — এবং যেকোনো ডেডেকিন্ড ডোমেইনে প্রতিটি নন-জিরো আইডিয়াল অনন্যভাবে প্রাইম আইডিয়ালগুলিতে ফ্যাক্টর করে।
- ডিসক্রিমিন্যান্ট
- একটি ইন্টিগ্রাল বেসিসের ডিসক্রিমিন্যান্ট হলো ফিল্ডের একটি ইন্টিজার ইনভেরিয়েন্ট যা র্যামিফাইড প্রাইমগুলি সনাক্ত করে এবং মিনকোভস্কির বাউন্ড এবং হার্মিটের ফাইনাইটনেস থিওরেমের মাধ্যমে ফিল্ডকে সীমাবদ্ধ করে।
Clinical relevance
ইন্টিজার রিং এবং তাদের আইডিয়াল কাঠামো হলো নাম্বার ফিল্ড সিভ ফ্যাক্টরাইজেশন অ্যালগরিদম এবং আইডিয়াল-ল্যাটিস ক্রিপ্টোগ্রাফির সেটিং, যেখানে একটি ইন্টিজার রিংয়ের পাটিগণিত কঠিন সমস্যা এবং দক্ষ অপারেশন উভয়ের উৎস।
History
কুনার 1840-এর দশকে সাইক্লোটমিক ইন্টিজার এবং আইডিয়াল নাম্বার নিয়ে কাজ করেছিলেন। ডেডেকিন্ড, 1870-এর দশকে ডিরাক্লেটের বক্তৃতার পরিপূরকগুলিতে, ইন্টিজার রিং এবং আইডিয়ালের আধুনিক ধারণা সংজ্ঞায়িত করেছিলেন, আইডিয়ালগুলির অনন্য ফ্যাক্টরাইজেশন প্রমাণ করেছিলেন এবং বিমূর্ত তত্ত্বের ভিত্তি স্থাপন করেছিলেন।
Key figures
- Richard Dedekind
- Leopold Kronecker
- Ernst Kummer
Related topics
Seminal works
- marcus2018
Frequently asked questions
- ইন্টিজার রিং কি সবসময় একটি অনন্য ফ্যাক্টরাইজেশন ডোমেইন?
- না। উপাদানগুলি অনন্যভাবে ফ্যাক্টর নাও করতে পারে, তবে রিংটি সর্বদা একটি ডেডেকিন্ড ডোমেইন, তাই আইডিয়ালগুলি করে; রিংটি একটি অনন্য ফ্যাক্টরাইজেশন ডোমেইন ঠিক তখনই যখন এর ক্লাস নাম্বার এক হয়।
- ডিসক্রিমিন্যান্ট আপনাকে কী বলে?
- ফিল্ড ডিসক্রিমিন্যান্ট হলো একটি ইন্টিজার ইনভেরিয়েন্ট যার প্রাইম বিভাজকগুলি ঠিক সেই প্রাইমগুলি যা ফিল্ডে র্যামিফাই করে, এবং এর আকার ফিল্ডটি কতটা জটিল হতে পারে তা সীমাবদ্ধ করে।