Реципрочна решетка и зони на Брилуен

Реципрочната решетка е партньорът в пространството на Фурие на една кристална решетка, а нейната клетка на Вигнер-Зайц, първата зона на Брилуен, е арената, в която се изразяват дифракцията, електронните зони и фононните дисперсии.

Definition

Реципрочната решетка е наборът от вълнови вектори, чиито плоски вълни споделят периодичността на дадена решетка на Браве; първата зона на Брилуен е примитивната клетка на Вигнер-Зайц на реципрочната решетка и служи като фундаментална област за кристалния импулс.

Scope

Тази тема конструира реципрочната решетка от директната решетка, свързва векторите на реципрочната решетка със семейства от решетъчни равнини и индекси на Милър, и изгражда първата зона на Брилуен като клетка на Вигнер-Зайц на реципрочната решетка. Тя показва как реципрочната решетка кодира условието за дифракция (Лауе) и осигурява периодичната област за кристалния импулс, използван в цялата зонна теория и динамика на решетката. Тя допълва класификацията в реалното пространство и дифракционните експерименти, разгледани в сродни теми.

Core questions

• Как се конструира реципрочната решетка от примитивните вектори на директната решетка?
• Защо векторите на реципрочната решетка съответстват на семейства от кристални равнини и индекси на Милър?
• Какво е първата зона на Брилуен и защо тя е естествената област за величините в k-пространството?
• Как реципрочната решетка изразява условието за дифракция?

Key concepts

• Вектори на реципрочната решетка
• Индекси на Милър и решетъчни равнини
• Първа зона на Брилуен и клетка на Вигнер-Зайц
• Кристален импулс и зоново сгъване
• Условие на Лауе в реципрочното пространство

Clinical relevance

Реципрочната решетка и зоната на Брилуен са незаменими работни инструменти: дифракционните карти са изображения на реципрочната решетка, електронните зонни структури и фононните дисперсии се нанасят в зоната на Брилуен, а повърхностите на Ферми се дефинират в нея.

History

Евалд въвежда реципрочната решетка като средство за отчитане на дифракцията през 1913 г., а Брилуен дефинира зоните, които носят неговото име, през 1930 г., докато анализира разпространението на електрони в периодични решетки, давайки на зонната теория нейния стандартен геометричен език.

Key figures

• Léon Brillouin
• Paul Peter Ewald
• Eugene Wigner

Seminal works

• ashcroft1976
• kittel2005

Frequently asked questions

Защо изобщо да въвеждаме реципрочна решетка?

Защото една периодична функция естествено се разлага на плоски вълни, чиито вълнови вектори са вектори на реципрочната решетка; работата в реципрочното пространство превръща проблеми в реалното пространство, подобни на конволюция, като дифракция и разпространение на вълни, в проста алгебра.

Какво прави първата зона на Брилуен специална?

Тя е най-малката област от реципрочното пространство, която съдържа всяка физически различна стойност на кристалния импулс; всеки вълнов вектор извън нея се различава от този вътре в нея с вектор на реципрочната решетка и е физически еквивалентен.