الفضاءات التوبولوجية والاستمرارية
الفضاء التوبولوجي يشفّر أي النقاط قريبة من أي النقاط الأخرى من خلال عائلة من المجموعات المفتوحة، والخريطة المستمرة هي تلك التي تحترم هذا التقارب — بسحب المجموعات المفتوحة إلى مجموعات مفتوحة.
Definition
الفضاء التوبولوجي هو مجموعة X مع توبولوجيا — عائلة من المجموعات الجزئية المفتوحة المغلقة تحت الاتحادات التعسفية والتقاطعات المنتهية وتحتوي على المجموعة الفارغة و X؛ الدالة بين الفضاءات التوبولوجية تكون مستمرة إذا كانت الصورة العكسية لكل مجموعة مفتوحة مفتوحة، والتشاكل التوبولوجي (homeomorphism) هو تقابل مستمر ذو معكوس مستمر.
Scope
يُعرّف هذا الموضوع الفضاءات التوبولوجية عبر بديهيات المجموعات المفتوحة واللغات المكافئة للمجموعات المغلقة، والجوارات، والإغلاق، والداخل. ويطور الأسس والأسس الفرعية كطرق اقتصادية لتحديد التوبولوجيا، وتوبولوجيات الفضاء الجزئي، والجداء، والقسمة، والمفاهيم المركزية للاستمرارية، والتشاكل التوبولوجي (homeomorphism)، والمتباينات التوبولوجية. ويتناول تقارب المتتاليات والشبكات حيث يفشل الحدس المتري.
Core questions
- كيف يمكن أن تنشأ نفس التوبولوجيا من أسس مختلفة، وكيف نقارن التوبولوجيات من حيث الدقة؟
- ماذا تعني الاستمرارية عندما لا يتوفر مقياس متري، وكيف يتم تمييزها عبر الإغلاقات والجوارات؟
- متى يكون فضاءان متشاكلين توبولوجيًا (homeomorphic)، وما هي الخصائص التي تعمل كمتباينات لتمييزهما؟
- كيف ترث أو تفشل إنشاءات الفضاء الجزئي، والجداء، والقسمة في وراثة خصائص التوبولوجيا الأم؟
Key concepts
- المجموعات المفتوحة، المجموعات المغلقة، الجوارات، الإغلاق، والداخل
- الأساس والأساس الفرعي لتوليد توبولوجيا
- الاستمرارية، التشاكل التوبولوجي (homeomorphism)، والمتباينات التوبولوجية
- توبولوجيات الفضاء الجزئي، والجداء، والقسمة
- التقارب عبر المتتاليات والشبكات؛ دور القابلية للعد الأولى
Clinical relevance
هذه التعريفات هي نقطة الدخول لكل بنية لاحقة في الهندسة والتوبولوجيا: المتشعبات (manifolds) هي فضاءات توبولوجية إقليدية محليًا، والتوبولوجيا المثلية (homotopy) والتوبولوجيا المتماثلة (homology) تعملان على الخرائط المستمرة، والتحليل على الفضاءات يعتمد على هذا المفهوم من الاستمرارية.
History
عممت تعريفات المجموعات المفتوحة فضاءات فريشيه المترية (1906) وبديهيات هاوسدورف للجوار (1914)؛ وأصبح الصياغة القياسية الحالية من حيث الاتحادات التعسفية والتقاطعات المنتهية هي القاعدة في الكتب المدرسية من خلال بورباكي والنصوص الأمريكية في منتصف القرن.
Key figures
- Felix Hausdorff
- Maurice Fréchet
- James Munkres
Related topics
Seminal works
- munkres2000
- kelley1955
Frequently asked questions
- هل كل تقابل مستمر هو تشاكل توبولوجي (homeomorphism)؟
- لا. قد يفشل التقابل المستمر في امتلاك معكوس مستمر؛ يتطلب التشاكل التوبولوجي (homeomorphism) بالإضافة إلى ذلك أن يكون المعكوس مستمرًا، وهذا ما يجعله تماثلاً (isomorphism) للفضاءات التوبولوجية.
- لماذا تعمم الشبكات المتتاليات في التوبولوجيا؟
- في الفضاءات التي ليست قابلة للعد الأولى، لا يمكن للمتتاليات الكشف عن جميع سلوكيات الإغلاق والاستمرارية؛ الشبكات (وبشكل مكافئ المرشحات) تفهرس التقارب عبر المجموعات الموجهة التعسفية وتستعيد النظرية الكاملة.