الموتر المتري والهندسة التفاضلية
يحدد الموتر المتري المسافات والأزمنة في الزمكان، وتوفر الهندسة التفاضلية للمشعبات الأدوات، والمشتقات المتغايرة، والوصلات، وموترات الانحناء، اللازمة لإجراء الفيزياء على خلفية منحنية.
Definition
الموتر المتري هو حقل موتر متماثل، غير متدهور من الرتبة الثانية يحدد فاصل الزمكان والجداء الداخلي للمتجهات، والذي تُشتق منه الوصلة الفريدة الخالية من الالتواء والمتوافقة مع المترية وجميع كميات الانحناء في النسبية العامة.
Scope
يغطي هذا الموضوع المشعبات ومخططات الإحداثيات، والمتجهات المماسية والأشكال الأحادية، والموتر المتري وعنصر الخط، ورفع وخفض المؤشرات، ووصلة ليفي-تشيفيتا ورموز كريستوفل، والتفاضل المتغاير، وموترات الانحناء (ريمان، ريتشي، القياسي) التي تُبنى من المترية.
Core questions
- كيف يقوم الموتر المتري بترميز جميع المعلومات الهندسية حول الزمكان؟
- لماذا نحتاج إلى مشتقة متغايرة بدلاً من المشتقات الجزئية العادية؟
- كيف تُبنى موترات الانحناء من المترية؟
Key concepts
- المشعب ومخطط الإحداثيات
- المتجهات المماسية والأشكال الأحادية
- الموتر المتري وعنصر الخط
- رموز كريستوفل
- المشتقة المتغايرة
- انحناء ريتشي والانحناء القياسي
Key theories
- المترية وعنصر الخط
- يحدد الموتر المتري الفاصل المربع بين الأحداث المتجاورة والجداء الداخلي للمتجهات، بحيث تتبع الأطوال والزوايا والأزمنة والعلاقات السببية كلها من حقل موتر متماثل واحد على المشعب.
- وصلة ليفي-تشيفيتا والانحناء
- التوافق المتري وانعدام الالتواء يميزان وصلة فريدة تحدد رموز كريستوفل الخاصة بها التفاضل المتغاير والنقل المتوازي، والتي تُبنى منها انحناءات ريمان وريتشي والقياسية.
Clinical relevance
تُعد حسابات المترية والموترات الأدوات العملية لكل تنبؤ كمي في النسبية العامة، بدءًا من كتابة حلول مثل مقاييس شوارزشيلد وفريدمان وصولًا إلى إجراء محاكاة النسبية العددية المستخدمة لنمذجة الثقوب السوداء والنجوم النيوترونية المندمجة.
History
عمم ريمان هندسة غاوس الجوهرية على المشعبات عالية الأبعاد في عام 1854؛ وبنى كريستوفل وريتشي وليفي-تشيفيتا حساب التفاضل المطلق للموترات في العقود التالية، موفرين بذلك الجهاز الذي احتاجه أينشتاين وغروسمان بالضبط لصياغة النسبية العامة.
Key figures
- Bernhard Riemann
- Gregorio Ricci-Curbastro
- Tullio Levi-Civita
- Elwin Bruno Christoffel
Related topics
Seminal works
- wald1984
- carroll2004
Frequently asked questions
- لماذا تحتاج النسبية العامة إلى مشتقة متغايرة؟
- المشتقات الجزئية العادية لمكونات الموتر لا تتحول كموترات تحت تغييرات إحداثية اعتباطية؛ تضيف المشتقة المتغايرة حدود وصلة بحيث ينتج التفاضل موترات حقيقية وتحافظ قوانين الفيزياء على نفس الشكل في جميع أنظمة الإحداثيات.
- هل المترية شيء مادي أم مجرد وسيلة إحداثية؟
- المترية هي حقل فيزيائي: إنها حقل الجاذبية في النسبية العامة، تحدد الفواصل القابلة للقياس وحركة المادة، وتُحدد ديناميكياتها بواسطة معادلات أينشتاين الحقلية بدلاً من اختيارها بحرية.