المربعات اللاتينية والهندسات المنتهية

المربع اللاتيني هو مصفوفة مربعة يظهر فيها كل رمز مرة واحدة في كل صف وعمود، والهندسات المنتهية هي أنظمة وقوع (incidence systems) عالية التنظيم على عدد محدود من النقاط والخطوط.

Definition

المربع اللاتيني من الرتبة n هو مصفوفة n في n مملوءة بـ n رمزًا بحيث يظهر كل رمز مرة واحدة بالضبط في كل صف وكل عمود؛ المستوى الإسقاطي المنتهي هو بنية وقوع (incidence structure) من النقاط والخطوط حيث تقع أي نقطتين على خط فريد، وتتقاطع أي خطين في نقطة فريدة.

Scope

يتناول هذا الموضوع المربعات اللاتينية والمربعات اللاتينية المتعامدة تبادليًا، وتكافؤها مع الشبكات (nets) والتصاميم المستعرضة (transversal designs)، والمستويات الإسقاطية والتآلفية المنتهية المبنية من الحقول المنتهية. ويشمل حدسية أويلر الكلاسيكية حول المربعات المتعامدة والصلة العميقة بين المربعات اللاتينية المتعامدة تبادليًا والمستويات الإسقاطية المنتهية.

Core questions

• كم عدد المربعات اللاتينية المتعامدة تبادليًا من رتبة معينة يمكن أن توجد؟
• لأي رتب توجد مجموعات كاملة من المربعات المتعامدة، وبالتالي المستويات الإسقاطية؟
• كيف تبني الحقول المنتهية المستويات والمربعات المتعامدة؟
• ما هي بديهيات الوقوع (incidence axioms) التي تحدد الهندسات التآلفية والإسقاطية على المجموعات المنتهية؟

Key concepts

• المربع اللاتيني
• المربعات اللاتينية المتعامدة تبادليًا
• التصاميم المستعرضة والشبكات
• المستوى الإسقاطي المنتهي
• المستوى التآلفي
• حقول غالوا (المنتهية)

Key theories

MOLS والمستويات الإسقاطية

توجد مجموعة كاملة من n-1 مربع لاتيني متعامد تبادليًا من الرتبة n إذا وفقط إذا وجد مستوى إسقاطي منتهٍ من الرتبة n، مما يربط التوافقيات اللاتينية الهندسية بالهندسة المنتهية.

دحض حدسية أويلر

افترض أويلر أنه لا يوجد زوج من المربعات اللاتينية المتعامدة للرتب المتطابقة مع 2 بترديد 4؛ وقد دحض بوس وشريخانده وباركر هذا في عام 1960 لجميع هذه الرتب باستثناء 2 و 6.

Clinical relevance

توفر المربعات اللاتينية تصاميم تجريبية للصفوف والأعمدة تتحكم في مصدرين من التباين في وقت واحد، وتدعم المصفوفات المتعامدة التجارب العاملية (factorial experiments) واختبار البرمجيات، وتولد الهندسات المنتهية الأكواد والتصاميم.

History

درس أويلر المربعات اللاتينية المتعامدة في عام 1782 من خلال مشكلة الضباط الستة والثلاثين؛ وظلت حدسيته قائمة حتى دحضها بوس وشريخانده وباركر في عام 1960، والذين أُطلق عليهم اسم "مفسدي أويلر" (Euler spoilers).

Key figures

• Leonhard Euler
• R. C. Bose
• E. T. Parker

Seminal works

• colbourn2007

Frequently asked questions

ماذا يعني أن يكون مربعان لاتينيان متعامدين؟

عندما يتم تركيب المربعين، يظهر كل زوج مرتب من الرموز مرة واحدة بالضبط، وبالتالي يميز المربعان معًا كل خلية من الشبكة.

هل شبكة سودوكو مربع لاتيني؟

السودوكو المكتملة هي مربع لاتيني من الرتبة التاسعة مع قيد إضافي يتمثل في أن كل مربع ثلاثة في ثلاثة يحتوي أيضًا على كل رمز مرة واحدة.