Đồng cấu vành

Đồng cấu vành là một ánh xạ bảo toàn cấu trúc giữa các vành, là hình thái học của lý thuyết vành mà hạt nhân của nó là một i-đê-an và ảnh của nó là một vành con, được điều chỉnh bởi các định lý đẳng cấu.

Definition

Đồng cấu vành là một hàm số giữa các vành bảo toàn phép cộng, phép nhân và (theo quy ước) phần tử đơn vị nhân, sao cho các phép toán đại số được tôn trọng.

Scope

Chủ đề này bao gồm định nghĩa về đồng cấu vành và đẳng cấu vành, hạt nhân và ảnh, bốn định lý đẳng cấu cho vành, đặc trưng và vành con nguyên tố, và các tính chất phổ quát của vành thương và ánh xạ định giá.

Core questions

• Một ánh xạ bảo toàn cấu trúc vành có nghĩa là gì?
• Hạt nhân và ảnh của một đồng cấu liên quan đến i-đê-an và vành con như thế nào?
• Các định lý đẳng cấu phân tích một đồng cấu thông qua một vành thương như thế nào?
• Các ánh xạ định giá và rút gọn phát sinh như các đồng cấu vành như thế nào?

Key theories

Định lý đẳng cấu thứ nhất cho vành

Mọi đồng cấu vành đều phân tích thành một toàn ánh lên ảnh của nó theo sau bởi một phép bao hàm, và ảnh của nó đẳng cấu với vành thương của miền bởi hạt nhân của nó, vốn là một i-đê-an.

Các định lý tương ứng và đẳng cấu

Việc lấy thương theo một i-đê-an thiết lập một song ánh giữa các i-đê-an chứa nó và các i-đê-an của vành thương, và các định lý đẳng cấu thứ hai, thứ ba và thứ tư mô tả cách các vành con, i-đê-an và vành thương tương tác dưới các đồng cấu.

Tính chất phổ quát của vành thương

Một đồng cấu có hạt nhân chứa một i-đê-an đã cho sẽ phân tích duy nhất thông qua vành thương bởi i-đê-an đó, do đó các vành thương là phổ quát trong số các ảnh đồng cấu triệt tiêu i-đê-an.

Clinical relevance

Đồng cấu vành hình thức hóa các phép toán cơ bản của đại số: phép rút gọn theo mô-đun một số nguyên hoặc đa thức, định giá đa thức và bao hàm một vành vào một vành lớn hơn đều là các đồng cấu. Chúng biến các vành thành một phạm trù và là các ánh xạ mà theo đó cấu trúc và tính toán được chuyển giao trong lý thuyết số và hình học đại số.

History

Các định lý đồng cấu và đẳng cấu đã được trừu tượng hóa từ lý thuyết nhóm sang vành như một phần trong chương trình đại số cấu trúc của Emmy Noether vào những năm 1920, thống nhất các cấu trúc trước đây đã được xử lý từng trường hợp trong lý thuyết số và lý thuyết phương trình.

Key figures

• Emmy Noether
• Richard Dedekind
• Emil Artin

Seminal works

• dummit2004
• hungerford1974
• lang2002

Frequently asked questions

Tại sao hạt nhân của một đồng cấu vành phải là một i-đê-an?

Hạt nhân đóng dưới phép cộng và, bởi vì ánh xạ gửi các tích đến các tích và ảnh của một phần tử hạt nhân là không, nó hấp thụ phép nhân bởi bất kỳ phần tử vành nào. Tính chất hấp thụ đó chính xác là định nghĩa của một i-đê-an.

Một ví dụ về đồng cấu vành trong đại số hàng ngày là gì?

Phép rút gọn số nguyên theo mô-đun n, định giá một đa thức tại một số cố định và liên hợp phức đều là các đồng cấu vành. Mỗi phép toán đều bảo toàn tổng và tích, và các định lý đẳng cấu mô tả ảnh của chúng như các vành thương.