Bộ giải trường phần tử hữu hạn và lưới

Giải các phương trình trường cổ điển trên các hình học phức tạp có nghĩa là chia không gian thành các phần tử hoặc ô lưới và giải các phương trình rời rạc hóa, đây là phương pháp đằng sau điện từ học tính toán, cơ học kết cấu và vật lý liên tục.

Definition

Bộ giải trường phần tử hữu hạn và lưới là các phương pháp số xấp xỉ nghiệm của các phương trình trường vi phân riêng phần bằng cách biểu diễn trường bằng các hàm cơ sở cục bộ trên một lưới các phần tử hoặc ô lưới, tạo ra một hệ đại số lớn cần giải.

Scope

Chủ đề này bao gồm việc giải các bài toán trường liên tục cổ điển dựa trên lưới: phương pháp phần tử hữu hạn với công thức yếu và các hàm cơ sở trên lưới không cấu trúc, các lựa chọn thay thế sai phân hữu hạn và thể tích hữu hạn, cũng như việc lắp ráp và giải các hệ phương trình tuyến tính thưa lớn thu được. Nó đề cập đến các bài toán trường tĩnh và phụ thuộc thời gian trên các hình học tổng quát.

Core questions

• Phương pháp phần tử hữu hạn biến đổi một phương trình trường thành một hệ đại số thông qua công thức yếu như thế nào?
• Các hàm cơ sở trên một lưới không cấu trúc biểu diễn trường như thế nào?
• Các phương pháp phần tử hữu hạn, sai phân hữu hạn và thể tích hữu hạn so sánh với nhau như thế nào?
• Các hệ thưa lớn thu được được lắp ráp và giải như thế nào?

Key theories

Công thức yếu và phương pháp Galerkin

Phương trình trường được viết lại dưới dạng tích phân yếu và nghiệm được mở rộng theo các hàm cơ sở cục bộ, với điều kiện Galerkin tạo ra một hệ tuyến tính thưa cho các giá trị nút.

Tạo lưới không cấu trúc

Các phần tử hữu hạn lát các hình học tùy ý bằng các tam giác hoặc tứ diện, cho phép tinh chỉnh cục bộ nơi trường thay đổi nhanh chóng và xử lý tự nhiên các biên phức tạp mà lưới đều không thể.

Lắp ráp và giải hệ thưa

Các đóng góp của phần tử được lắp ráp thành một ma trận độ cứng thưa toàn cục, và trường được tìm thấy bằng cách giải hệ tuyến tính với các bộ giải thưa trực tiếp hoặc lặp.

Clinical relevance

Các bộ giải phần tử hữu hạn và lưới tính toán các trường điện từ, ứng suất và biến dạng trong các cấu trúc, truyền nhiệt và dòng chảy chất lỏng, và là nền tảng trong điện từ học tính toán, cơ học kết cấu và vật lý kỹ thuật.

History

Phương pháp phần tử hữu hạn phát triển từ kỹ thuật kết cấu vào những năm 1950 và 1960, với nguồn gốc toán học từ công trình biến phân trước đó của Courant, và lan rộng sang điện từ học, truyền nhiệt và động lực học chất lỏng khi sức mạnh tính toán và các công cụ tạo lưới trưởng thành.

Key figures

• Olgierd Zienkiewicz
• Richard Courant
• Jian-Ming Jin

Seminal works

• zienkiewicz2013
• jin2014

Frequently asked questions

Khi nào thì phần tử hữu hạn được ưu tiên hơn sai phân hữu hạn?

Phần tử hữu hạn nổi bật trên các hình học phức tạp hoặc cong và nơi cần tinh chỉnh lưới cục bộ, vì chúng lát các hình dạng tùy ý bằng lưới không cấu trúc. Sai phân hữu hạn đơn giản hơn và hiệu quả trên lưới đều và các miền đơn giản.

Công thức yếu là gì?

Đó là một cách diễn đạt lại tích phân, trung bình của một phương trình vi phân yêu cầu nghiệm thỏa mãn phương trình đối với các hàm kiểm tra thay vì tại mọi điểm. Điều này làm giảm yêu cầu về độ trơn và là cơ sở toán học giúp phương pháp phần tử hữu hạn hoạt động.