Định lý cuối cùng của Fermat

Định lý cuối cùng của Fermat khẳng định rằng không có ba số nguyên dương nào thỏa mãn phương trình a mũ n cộng b mũ n bằng c mũ n với bất kỳ số mũ n nào lớn hơn hai — một tuyên bố đã không được chứng minh trong hơn ba thế kỷ cho đến khi nó được giải quyết thông qua tính modular của các đường cong elliptic.

Definition

Định lý cuối cùng của Fermat là phát biểu rằng phương trình x mũ n cộng y mũ n bằng z mũ n không có nghiệm trong các số nguyên dương x, y, z bất cứ khi nào số mũ nguyên n lớn hơn hai.

Scope

Chủ đề này bao gồm phát biểu của Định lý cuối cùng của Fermat, việc rút gọn nó thành các số mũ nguyên tố và đường cong Fermat, những tiến bộ của Kummer vào thế kỷ XIX sử dụng số lý tưởng và số nguyên tố chính quy, đường cong Frey liên quan đến một nghiệm giả định, giả thuyết epsilon được Ribet chứng minh liên kết nó với tính modular, và chứng minh của Wiles về tính modular của các đường cong elliptic bán ổn định đã khép lại lập luận.

Core questions

• Tại sao chỉ cần chứng minh định lý cho các số mũ nguyên tố và cho số mũ bốn?
• Các phương pháp cổ điển, đặc biệt là lý thuyết số lý tưởng và số nguyên tố chính quy của Kummer, đã thúc đẩy vấn đề này đến mức nào?
• Đường cong Frey biến một nghiệm Fermat giả định thành một đường cong elliptic với các tính chất không thể có như thế nào?
• Định lý của Ribet và định lý modularity kết hợp với nhau để hoàn thành chứng minh như thế nào?

Key theories

Số nguyên tố chính quy của Kummer

Kummer đã chứng minh Định lý cuối cùng của Fermat cho tất cả các số mũ nguyên tố chính quy bằng cách sử dụng số lý tưởng, giới thiệu bộ máy nhóm lớp của lý thuyết số đại số trong quá trình này.

Đường cong Frey và định lý của Ribet

Một nghiệm Fermat không tầm thường sẽ tạo ra đường cong elliptic Frey, mà Ribet đã chứng minh là không thể modular; do đó, tính modular của các đường cong như vậy sẽ buộc phương trình Fermat không có nghiệm.

Định lý modularity (Wiles-Taylor)

Wiles, cùng với Taylor, đã chứng minh rằng các đường cong elliptic hữu tỷ bán ổn định là modular, mâu thuẫn với sự tồn tại của đường cong Frey và do đó chứng minh Định lý cuối cùng của Fermat.

Clinical relevance

Mặc dù bản thân định lý không có ứng dụng trực tiếp, nhưng bộ máy của chứng minh — biểu diễn Galois, lý thuyết biến dạng và nâng modularity — đã trở thành công nghệ cốt lõi trong chương trình Langlands và trong các phương pháp hình học số học cũng thông báo về mật mã đường cong elliptic.

History

Fermat đã ghi lại tuyên bố này vào khoảng năm 1637 ở lề cuốn sách của Diophantus mà ông sở hữu, khẳng định một bằng chứng mà ông chưa bao giờ viết ra. Euler, Sophie Germain và Kummer đã giải quyết nhiều trường hợp trong hai thế kỷ tiếp theo; Frey, Serre và Ribet đã rút gọn nó thành tính modular vào những năm 1980, và Wiles đã công bố một bằng chứng vào năm 1993, hoàn thành cùng với Taylor vào năm 1994 và được xuất bản vào năm 1995.

Key figures

• Pierre de Fermat
• Ernst Kummer
• Ken Ribet
• Andrew Wiles

Seminal works

• wiles1995
• wiles1995

Frequently asked questions

Fermat có thực sự có một bằng chứng không?

Gần như chắc chắn không phải là một bằng chứng tổng quát chính xác. Các phương pháp cần thiết chỉ được phát triển vào thế kỷ XX, và bất kỳ lập luận nào từ thế kỷ XVII sẽ dựa vào các giả định, chẳng hạn như phân tích nhân tử duy nhất, mà không đúng trong các vành liên quan.

Một phương trình về lũy thừa liên quan đến các đường cong elliptic như thế nào?

Một nghiệm giả định có thể được đóng gói vào đường cong elliptic Frey; các tính chất số học của nó sẽ mâu thuẫn với định lý modularity, vì vậy tính modularity của các đường cong elliptic buộc phương trình ban đầu không thể giải được.