Đa tạp afin và đa tạp xạ ảnh

Đa tạp là tập hợp nghiệm hình học của các phương trình đa thức, được nghiên cứu trong không gian afin và, bằng cách thêm các điểm ở vô cực, trong một thiết lập đồng nhất hơn của không gian xạ ảnh.

Definition

Một đa tạp afin là tập hợp không chung trong không gian afin của một tập hợp các đa thức; một đa tạp xạ ảnh là tập hợp không tương tự của các đa thức thuần nhất trong không gian xạ ảnh, nơi hình học là compact và lý thuyết giao cắt hoạt động tốt.

Scope

Chủ đề này phát triển các đa tạp afin như là các quỹ tích không của đa thức, tô pô Zariski, và sự tương ứng giữa các đa tạp và các iđêan căn bản được cung cấp bởi định lý Nullstellensatz của Hilbert. Nó giới thiệu vành tọa độ và trường hàm, các ánh xạ chính quy và hữu tỉ, và sự chuyển sang không gian xạ ảnh và các đa tạp xạ ảnh nơi định lý Bézout và sự vắng mặt của hành vi ngoại lệ ở vô cực được duy trì. Số chiều, tính bất khả quy, và các điểm kỳ dị so với các điểm trơn được coi là các bất biến hình học cơ bản.

Core questions

• Định lý Nullstellensatz làm thế nào để làm rõ sự tương ứng giữa các đa tạp và các iđêan?
• Tại sao không gian xạ ảnh là môi trường tự nhiên cho các đa tạp, và việc thêm các điểm ở vô cực khắc phục điều gì?
• Vành tọa độ và trường hàm của một đa tạp là những bóng đại số của nó như thế nào?
• Điều gì phân biệt các điểm trơn với các điểm kỳ dị, và số chiều được định nghĩa đại số như thế nào?

Key concepts

• Đa tạp afin và tô pô Zariski
• Định lý Nullstellensatz của Hilbert và sự tương ứng iđêan-đa tạp
• Vành tọa độ, trường hàm và các ánh xạ hữu tỉ
• Không gian xạ ảnh và các đa tạp xạ ảnh
• Số chiều, tính bất khả quy, và các điểm trơn so với các điểm kỳ dị

Clinical relevance

Đa tạp là các đối tượng cơ bản được nghiên cứu trong toàn bộ hình học đại số và các ứng dụng của nó, từ các đường cong elliptic trong mật mã học và lý thuyết số đến các mô hình xạ ảnh được sử dụng trong thị giác máy tính và các tập hợp nghiệm được phân tích trong thống kê đại số.

History

Nghiên cứu về các đường cong và bề mặt bằng các phương trình đa thức có từ thế kỷ 19; định lý Nullstellensatz của Hilbert (1893) và sự giới thiệu của Zariski về các công cụ tô pô và đại số chặt chẽ vào những năm 1930 và 1940 đã thiết lập đa tạp như một đối tượng chính xác, điểm khởi đầu của môn học hiện đại.

Key figures

• David Hilbert
• Oscar Zariski
• Robin Hartshorne

Seminal works

• hartshorne1977
• eisenbud1995

Frequently asked questions

Định lý Nullstellensatz của Hilbert nói gì?

Trên một trường đóng đại số, nó thiết lập một song ánh giữa các đa tạp afin và các iđêan căn bản của vành đa thức, do đó sự chứa đựng hình học và giao cắt tương ứng chính xác với các phép toán đại số trên các iđêan.

Tại sao làm việc trong không gian xạ ảnh thay vì không gian afin?

Không gian xạ ảnh làm compact hóa không gian afin bằng cách thêm các điểm ở vô cực, điều này làm cho các đa tạp trở nên compact, loại bỏ các trường hợp đặc biệt (các đường thẳng song song gặp nhau), và mang lại các kết quả giao cắt rõ ràng như định lý Bézout.