Elek Yöntemleri
Elek yöntemleri, belirli bir asal sayılar kümesine bölünebilenlerin çıkarılmasından sonra kalan tam sayıları sistematik olarak sayarak, asal sayılar, ikiz asallar ve neredeyse asallar üzerinde mevcut en keskin sınırları sağlamaktadır.
Tanım
Elek yöntemi, seçilen bir kümeden asal sayılara bölünebilenlerin silinmesinden sonra kalan tam sayılar kümesinin boyutunu tahmin eden, asal sayıların ve neredeyse asalların sayıları için üst ve alt sınırlar sağlayan analitik-kombinatoryal bir teknik olarak tanımlanmaktadır.
Kapsam
Bu konu, Eratosthenes ve Legendre'nin dahil etme-hariç tutma eleğini ve sınırlamalarını, Brun'un kombinatoryal eleğini, Selberg'in kuadratik üst sınır eleğini, büyük elek eşitsizliğini, eleklerin tek başına asal sayıları izole etmesini engelleyen parite problemini ve Brun teoremi, Chen teoremi gibi uygulamaları ve asal sayılar arasındaki sınırlı boşluklara ilişkin modern sonuçları kapsamaktadır.
Temel sorular
- Dahil etme-hariç tutma eleği katları nasıl eler ve saf Eratosthenes-Legendre eleği neden birçok eleme asal sayısı üzerindeki kontrolünü kaybeder?
- Brun ve Selberg'in elekleri, kullanılabilir sınırlar sağlamak için hata terimlerini nasıl kontrol altına almaktadır?
- Parite problemi nedir ve neden klasik eleklerin asal sayıları tam olarak saymasını engellemektedir?
- Elek yöntemleri, Brun sabiti, Chen teoremi ve sınırlı asal boşlukları gibi sonuçları nasıl üretmiştir?
Temel kuramlar
- Brun eleği ve Brun teoremi
- Brun, dahil etme-hariç tutmayı çift veya tek bir seviyede keserek kullanılabilir üst sınırlar elde etmiş ve ikiz asal sayıların terslerinin toplamının yakınsadığını kanıtlamıştır ki bu, elek kuramındaki ilk önemli sonuçtur.
- Selberg eleği ve büyük elek
- Selberg, keskin üst sınırlar için bir kuadratik formu optimize ederek kombinatoryal kesmeyi değiştirmiş, büyük elek ise kalan sınıfları ve karakterler üzerinde güçlü ortalama değer tahminleri sağlamıştır.
- Parite problemi ve modern gelişmeler
- Elekler, tek başına asal çarpan sayısı çift olan sayıları tek olanlardan ayırt edememektedir; eleklerin diğer girdilerle birleştirilmesi Chen teoremini ve daha yakın zamanda, asal sayılar arasında sonsuz sayıda sınırlı boşlukları ortaya çıkarmıştır.
Klinik önem
Elek sınırları, belirli aralıklarda ve aritmetik dizilerde kaç tane neredeyse asal ve asal sayı bulunduğunu nicelleştirmekte, çarpanlara ayırma algoritmalarında kullanılan sezgisel yöntemleri ve kriptografik olarak uygun asal sayıların arzını modellemeyi desteklemektedir.
Tarihçe
Elek kuramı, 1915 civarında Brun'un Eratosthenes eleğinde yaptığı değişiklikle başlamış olup, bu değişiklik ikiz asal sayıların terslerinin toplamının yakınsadığını kanıtlamıştır. Selberg, 1940'larda optimize edilmiş eleğini tanıtmıştır; Chen, 1973'te her büyük çift sayının bir asal sayı artı bir neredeyse asal sayı olduğunu kanıtlamıştır; ve Zhang'ın 2013'teki çalışması, Maynard ve Polymath projesi tarafından geliştirilerek, asal sayılar arasındaki sınırlı boşlukları ortaya koymuştur.
Öne çıkan isimler
- Viggo Brun
- Atle Selberg
- Chen Jingrun
- Yitang Zhang
İlgili konular
Temel eserler
- iwaniecKowalski2004
Sıkça sorulan sorular
- Elek kuramında parite problemi nedir?
- Klasik elekler, asal çarpan sayısı çift olan tam sayıları tek olanlardan ayırt edememektedir, bu nedenle tek başlarına elenmiş bir kümenin asal sayılardan oluştuğunu kanıtlayamazlar; ek aritmetik girdi gerekmektedir.
- Elek yöntemleri ikiz asal sayı varsayımını kanıtladı mı?
- Varsayımın tamamını değil. Elekler, yeni fikirlerle birleştirilerek, sınırlı bir boşluk içinde sonsuz sayıda asal sayı çifti olduğunu kanıtlamıştır, ancak bu boşluğun iki olabileceğini (ikiz asallar) göstermek hala açık bir problemdir.