Şemalar
Şemalar, Grothendieck'in varyetelerin geniş bir genellemesidir; keyfi değişmeli halkaların spektrumlarını birleştirerek inşa edilmekte olup, cebirsel geometrinin herhangi bir halka üzerinde çalışmasına ve sonsuz küçük (infinitesimal) ve aritmetik bilgileri takip etmesine olanak tanımaktadır.
Tanım
Bir şema, yerel olarak bir değişmeli halkanın spektrumuna (bir afin şema) izomorfik olan, noktaların asal idealler olduğu ve yapı demetinin (structure sheaf) her açık kümedeki fonksiyonlar halkasını kaydettiği yerel halkalı bir uzaydır.
Kapsam
Bu konu, bir değişmeli halkanın spektrumunu yerel halkalı bir uzay olarak inşa etmekte, afin şemaları ve genel şemaları birleştirme yoluyla tanımlamakta, şemaların morfizmlerini ve göreceli bakış açısını geliştirmektedir. İndirgenmiş (reduced), tam (integral), ayrık (separated), uygun (proper) ve düzgün (smooth) şemalar gibi anahtar özellikler, lif ürünleri (fiber products) ve taban değişimi (base change) ile noktaların funktor (functor-of-points) bakış açısı ele alınmaktadır. İndirgenmemiş (nonreduced) yapıyı yakalamada nilpotent elemanların rolü ve aritmetik geometri için tam sayılar üzerindeki şemaların kullanımı vurgulanmaktadır.
Temel sorular
- Bir halkanın asal spektrumu, keyfi değişmeli cebiri geometriye nasıl dönüştürmektedir?
- Nilpotent elemanlar ve jenerik noktalar, şemaların varyetelerin ifade edemediği neleri ifade etmesini sağlamaktadır?
- Göreceli şemalar ve taban değişimi, herhangi bir taban üzerinde tekdüze bir kuramı nasıl desteklemektedir?
- Noktaların funktor (functor-of-points) bakış açısı, bir şemayı kendisine olan haritalar aracılığıyla nasıl karakterize etmektedir?
Anahtar kavramlar
- Bir halkanın spektrumu ve asallar üzerindeki Zariski topolojisi
- Yapı demeti (structure sheaf) ve yerel halkalı uzaylar
- Afin şemalar ve genel şemalara birleştirme
- Morfizmler, lif ürünleri (fiber products) ve taban değişimi (base change)
- Noktaların funktor (functor-of-points) ve indirgenmemiş (nonreduced) yapı
Klinik önem
Şema kuramı, modern cebirsel geometri ve aritmetik geometrinin temel dilidir; Weil varsayımlarının kohomolojik ispatlarını ve Fermat'nın Son Teoremi'nin arkasındaki modülerlik sonuçlarını mümkün kılmış, modüli problemlerini (moduli problems) ve deformasyon kuramını (deformation theory) çerçevelemektedir.
Tarihçe
Serre'nin demet-kuramsal (sheaf-theoretic) cebirsel geometrisi üzerine inşa ederek, Grothendieck 1960'larda Éléments de géométrie algébrique adlı eserinde şemaları tanıtmış, varyeteleri keyfi halkaların spektrumlarına genelleştirmiş ve tüm alanı kohomolojik ve kategorik temeller üzerine yeniden inşa etmiştir.
Öne çıkan isimler
- Alexander Grothendieck
- Jean-Pierre Serre
- David Mumford
İlgili konular
Temel eserler
- hartshorne1977
- eisenbud1995
Sıkça sorulan sorular
- Bir şema, bir varyeteden nasıl farklıdır?
- Bir varyete, esasen bir cisim üzerinde sonlu tipli (finite type) tam (integral) ve indirgenmiş (reduced) bir şemadır; genel bir şema ise nilpotent fonksiyonlara, sonsuz sayıda veya jenerik noktalara sahip olabilmekte ve tam sayılar dahil olmak üzere herhangi bir değişmeli halka üzerinde tanımlanabilmektedir.
- Bir şemanın noktaları neden sadece maksimal idealleri değil, asal idealleri de içermektedir?
- Maksimal olmayan asal idealler, alt varyetelerin kapanışında yer alan jenerik noktalar vermekte, indirgenemez alt şemaların içerme yapısını yakalamakta ve halka haritaları altında geometriyi fonktoryel hale getirmektedir.