Konvolüsyon
Konvolüsyon, iki fonksiyonu, birinin şeklinin diğeri tarafından nasıl değiştirildiğini ifade eden üçüncü bir fonksiyonda birleştiren, doğrusal sistemlerin ve integral dönüşümlerinin temelindeki işlemdir.
Tanım
İki fonksiyonun konvolüsyonu, bir fonksiyonun yansıtılmış ve ötelenmiş diğer bir kopyasıyla çarpımının, tüm kaydırmalar üzerindeki integralidir; bu işlem, bir fonksiyon diğerinin üzerinden kaydırılırken iki fonksiyonun ne kadar örtüştüğünü ölçmektedir.
Kapsam
Bu konu, konvolüsyon integralinin tanımını ve ayrık karşılığını, değişme, birleşme ve dağılma gibi cebirsel özelliklerini, integral dönüşümleri altında çarpma ile bağlantısını kuran konvolüsyon teoremini, birim elemanın bir delta fonksiyonu olarak rolünü, yumuşatıcılar (mollifier) aracılığıyla yumuşatmayı ve doğrusal zamanla değişmeyen sistemlerin tepkisi olarak ortaya çıkışını kapsamaktadır.
Temel sorular
- İki fonksiyonu konvolüsyonlamak neyi hesaplar?
- Bu işlem hangi cebirsel özelliklere sahiptir?
- Konvolüsyon teoremi, onu integral dönüşümleriyle nasıl ilişkilendirir?
- Konvolüsyon neden doğrusal zamanla değişmeyen sistemler için doğal bir modeldir?
Temel kuramlar
- Konvolüsyon teoremi
- Fourier veya Laplace dönüşümü altında, konvolüsyon sıradan çarpmaya karşılık gelir; bu nedenle dönüşümler, konvolüsyon tabanlı problemleri cebire indirgemektedir.
- Doğrusal zamanla değişmeyen sistemler
- Herhangi bir doğrusal zamanla değişmeyen sistem, girdisine dürtü tepkisi (impulse response) ile konvolüsyon yaparak etki eder; bu nedenle dürtü tepkisi, sistemin davranışını tamamen karakterize etmektedir.
- Yaklaşık birimler ve yumuşatma
- Bir fonksiyonu yoğunlaşmış, integrallenebilir bir çekirdekle (kernel) konvolüsyonlamak, çekirdek keskinleştikçe orijinaline yaklaşırken onu yumuşatır; bu, yumuşatma (mollification) ve düzenlileştirmenin (regularization) temelini oluşturur.
Klinik önem
Konvolüsyon, sinyal ve görüntü işlemede filtrelemeyi ve bulanıklaştırmayı, fiziksel sistemlerin dürtü tepkileri (impulse response) aracılığıyla verdikleri yanıtı, bağımsız rastgele değişkenlerin toplamlarının dağılımı aracılığıyla olasılığı ve modern sinir ağlarının temelindeki konvolüsyonel katmanları modellemektedir.
Tarihçe
Konvolüsyon integrali, on sekizinci ve on dokuzuncu yüzyıllardaki süperpozisyon (superposition) üzerine yapılan çalışmalarda ve Volterra'nın integral denklemlerinde ortaya çıkmıştır. Merkezi rolü, yirminci yüzyılda operasyonel kalkülüs (operational calculus) ve doğrusal sistemlerin sistematik teorisi ile belirginleşmiş, burada konvolüsyon teoremi onu vazgeçilmez kılmıştır.
Öne çıkan isimler
- Joseph Fourier
- Vito Volterra
- Norbert Wiener
- Ronald Bracewell
İlgili konular
Temel eserler
- folland1992
- bracewell2000
Sıkça sorulan sorular
- Konvolüsyonun sezgisel bir tanımı nedir?
- Bir fonksiyonu diğerinin üzerinden kaydırdığınızı ve her konumda bunları nokta nokta çarparak sonuçları topladığınızı düşünün. Çıktı, kaydırmanın bir fonksiyonu olarak ikisinin ne kadar örtüştüğünü ölçer; bu nedenle yumuşatmayı ve sistemlerin tepkisini yakalamaktadır.
- Dönüşümden sonra konvolüsyon neden çarpmaya dönüşür?
- İntegral dönüşümleri, fonksiyonları üstel ifadelerin (exponentials) kombinasyonları olarak ifade eder ve konvolüsyon, her bir üstel bileşene onu ölçeklendirerek bağımsız olarak etki eder. Dönüşüm bu bileşenleri ayırdığı için, birleşik etki dönüşüm alanında basit noktasal çarpmadır.