Latijnse vierkanten en eindige meetkunde

Een Latijns vierkant is een vierkante matrix waarin elk symbool één keer per rij en kolom voorkomt, en eindige meetkundes zijn sterk gestructureerde incidentiesystemen op een eindig aantal punten en lijnen.

Definition

Een Latijns vierkant van orde n is een n-bij-n matrix gevuld met n symbolen, zodanig dat elk symbool precies één keer voorkomt in elke rij en elke kolom; een eindig projectief vlak is een incidentiestructuur van punten en lijnen waarin twee willekeurige punten op een unieke lijn liggen en twee willekeurige lijnen elkaar in een uniek punt snijden.

Scope

Dit onderwerp behandelt Latijnse vierkanten en mutueel orthogonale Latijnse vierkanten, hun equivalentie met netten en transversale designs, en eindige projectieve en affiene vlakken geconstrueerd uit eindige velden. Het omvat het klassieke vermoeden van Euler over orthogonale vierkanten en de diepe verbinding tussen mutueel orthogonale Latijnse vierkanten en eindige projectieve vlakken.

Core questions

• Hoeveel mutueel orthogonale Latijnse vierkanten van een gegeven orde kunnen er bestaan?
• Voor welke ordes bestaan complete verzamelingen van orthogonale vierkanten, en dus projectieve vlakken?
• Hoe construeren eindige velden vlakken en orthogonale vierkanten?
• Welke incidentieaxioma's definiëren affiene en projectieve meetkundes over eindige verzamelingen?

Key concepts

• Latijns vierkant
• Mutueel orthogonale Latijnse vierkanten
• Transversale designs en netten
• Eindig projectief vlak
• Affien vlak
• Galois (eindige) velden

Key theories

MOLS en projectieve vlakken

Een complete verzameling van n-1 mutueel orthogonale Latijnse vierkanten (MOLS) van orde n bestaat dan en slechts dan als een eindig projectief vlak van orde n bestaat, wat de combinatoriek van Latijnse vierkanten verbindt met eindige meetkunde.

Weerlegging van Eulers vermoeden

Euler vermoedde dat er geen paar orthogonale Latijnse vierkanten bestaat voor ordes die congruent zijn met 2 modulo 4; Bose, Shrikhande en Parker weerlegden dit in 1960 voor alle dergelijke ordes, behalve 2 en 6.

Clinical relevance

Latijnse vierkanten bieden experimentele designs met rijen en kolommen die twee bronnen van variatie gelijktijdig beheersen, orthogonale arrays ondersteunen factoriële experimenten en softwaretesten, en eindige meetkundes genereren codes en designs.

History

Euler bestudeerde orthogonale Latijnse vierkanten in 1782 door middel van zijn probleem met zesendertig officieren; zijn vermoeden bleef bestaan tot de weerlegging in 1960 door Bose, Shrikhande en Parker, de zogenaamde Euler spoilers.

Key figures

• Leonhard Euler
• R. C. Bose
• E. T. Parker

Seminal works

• colbourn2007

Frequently asked questions

Wat betekent het voor twee Latijnse vierkanten om orthogonaal te zijn?

Wanneer de twee vierkanten over elkaar worden gelegd, komt elk geordend paar symbolen precies één keer voor, zodat de vierkanten gezamenlijk elke cel van het rooster onderscheiden.

Is een Sudoku-rooster een Latijns vierkant?

Een ingevulde Sudoku is een Latijns vierkant van orde negen met de extra beperking dat elk drie-bij-drie vakje ook elk symbool één keer bevat.