Persamaan Hamilton dan Ruang Fase

Persamaan Hamilton adalah sepasang persamaan orde pertama yang memberikan evolusi waktu koordinat dan momentum konjugat sebagai turunan dari Hamiltonian, menggambarkan gerak sebagai aliran dalam ruang fase.

Definition

Persamaan Hamilton adalah dua persamaan diferensial orde pertama, satu memberikan laju perubahan setiap koordinat dan yang lainnya setiap momentum konjugat sebagai turunan parsial dari Hamiltonian, yang menentukan lintasan sistem melalui ruang fase.

Scope

Topik ini mencakup transformasi Legendre yang mendefinisikan Hamiltonian dari Lagrangian, persamaan kanonik yang dihasilkan untuk setiap pasangan koordinat-momentum, struktur ruang fase dan lintasan di dalamnya, serta teorema Liouville tentang konservasi volume ruang fase di bawah aliran Hamiltonian.

Core questions

• Bagaimana Hamiltonian dibangun dari Lagrangian melalui transformasi Legendre?
• Apa yang diwakili oleh lintasan dalam ruang fase, dan bagaimana ia berevolusi?
• Mengapa volume ruang fase kekal di bawah aliran Hamiltonian?

Key concepts

• Transformasi Legendre
• Momentum konjugat
• Ruang fase dan lintasan fase
• Persamaan kanonik
• Teorema Liouville
• Permukaan energi

Key theories

Persamaan kanonik Hamilton

Gerak diatur oleh persamaan orde pertama di mana laju perubahan setiap koordinat sama dengan turunan momentum dari Hamiltonian dan laju setiap momentum sama dengan negatif turunan koordinat.

Teorema Liouville

Aliran yang dihasilkan oleh Hamiltonian mempertahankan volume dalam ruang fase, sehingga suatu wilayah kondisi awal berevolusi tanpa mengubah ukuran ruang fasenya, sebuah landasan mekanika statistik.

Clinical relevance

Gambaran ruang fase dan teorema Liouville adalah dasar dari mekanika statistik dan metode ensemble, dinamika berkas akselerator di mana luas ruang fase adalah emitansi yang kekal, dan integrator simplektik numerik yang digunakan dalam simulasi orbital dan molekuler jangka panjang.

History

Hamilton memperkenalkan persamaan kanonik dalam makalahnya tahun 1834-1835 tentang metode umum dalam dinamika, mengubah deskripsi Lagrangian orde kedua menjadi deskripsi orde pertama yang simetris. Teorema Liouville tahun 1838 tentang konservasi volume dan penggunaan ruang fase oleh Gibbs di kemudian hari untuk ensemble statistik menetapkan sudut pandang ruang fase sebagai pusat fisika.

Key figures

• William Rowan Hamilton
• Joseph Liouville
• Josiah Willard Gibbs

Seminal works

• goldstein2002
• arnold1989

Frequently asked questions

Apa itu ruang fase?

Ruang fase adalah ruang yang koordinatnya adalah semua posisi umum dan momentum konjugatnya; satu titik sepenuhnya menentukan keadaan sesaat sistem, dan sejarah sistem adalah kurva melalui ruang ini.

Mengapa persamaan Hamilton berorde pertama sedangkan persamaan Lagrange berorde kedua?

Dengan memperlakukan momentum sebagai variabel independen bersama koordinat, formulasi Hamiltonian menggandakan jumlah variabel tetapi menurunkan setiap persamaan ke orde pertama, memperlihatkan struktur simetris ruang fase.