Penyelesai Medan Elemen Hingga dan Kisi

Menyelesaikan persamaan medan klasik pada geometri yang rumit berarti membagi ruang menjadi elemen atau sel kisi dan menyelesaikan persamaan diskrit, metode di balik elektromagnetisme komputasi, mekanika struktural, dan fisika kontinu.

Definition

Penyelesai medan elemen hingga dan kisi adalah metode numerik yang mendekati solusi persamaan medan diferensial parsial dengan merepresentasikan medan dengan fungsi basis lokal pada jaring elemen atau sel kisi, menghasilkan sistem aljabar besar untuk diselesaikan.

Scope

Topik ini mencakup solusi berbasis kisi dari masalah medan kontinu klasik: metode elemen hingga dengan formulasi lemah dan fungsi basis pada jaring tak terstruktur, alternatif beda hingga dan volume hingga, serta perakitan dan solusi dari sistem linear besar jarang yang dihasilkan. Ini membahas masalah medan statis dan bergantung waktu pada geometri umum.

Core questions

• Bagaimana metode elemen hingga mengubah persamaan medan menjadi sistem aljabar melalui formulasi lemah?
• Bagaimana fungsi basis pada jaring tak terstruktur merepresentasikan medan?
• Bagaimana perbandingan metode elemen hingga, beda hingga, dan volume hingga?
• Bagaimana sistem jarang besar yang dihasilkan dirakit dan diselesaikan?

Key theories

Formulasi lemah dan metode Galerkin

Persamaan medan dirumuskan ulang dalam bentuk lemah integral dan solusi diperluas dalam fungsi basis lokal, dengan kondisi Galerkin menghasilkan sistem linear jarang untuk nilai-nilai nodal.

Pemeshan tak terstruktur

Elemen hingga menutupi geometri arbitrer dengan segitiga atau tetrahedron, memungkinkan penyempurnaan lokal di mana medan bervariasi dengan cepat dan secara alami menangani batas kompleks yang tidak dapat ditangani oleh kisi-kisi biasa.

Perakitan dan solusi sistem jarang

Kontribusi elemen dirakit menjadi matriks kekakuan global yang jarang, dan medan ditemukan dengan menyelesaikan sistem linear dengan penyelesai jarang langsung atau iteratif.

Clinical relevance

Penyelesai elemen hingga dan kisi menghitung medan elektromagnetik, tegangan dan deformasi dalam struktur, perpindahan panas dan aliran fluida, dan merupakan dasar di seluruh elektromagnetisme komputasi, mekanika struktural, dan fisika rekayasa.

History

Metode elemen hingga berkembang dari rekayasa struktural pada tahun 1950-an dan 1960-an, dengan akar matematis dalam karya variasi Courant sebelumnya, dan menyebar ke elektromagnetisme, perpindahan panas, dan dinamika fluida seiring dengan matangnya kekuatan komputasi dan alat jaring.

Key figures

• Olgierd Zienkiewicz
• Richard Courant
• Jian-Ming Jin

Seminal works

• zienkiewicz2013
• jin2014

Frequently asked questions

Kapan elemen hingga lebih disukai daripada beda hingga?

Elemen hingga unggul pada geometri kompleks atau melengkung dan di mana penyempurnaan jaring lokal diperlukan, karena mereka menutupi bentuk arbitrer dengan jaring tak terstruktur. Beda hingga lebih sederhana dan efisien pada kisi-kisi biasa dan domain sederhana.

Apa itu formulasi lemah?

Ini adalah perumusan ulang integral, rata-rata dari persamaan diferensial yang mengharuskan solusi untuk memenuhi persamaan terhadap fungsi uji daripada di setiap titik. Ini melonggarkan persyaratan kehalusan dan merupakan dasar matematis yang membuat metode elemen hingga berfungsi.