Quadratische Reziprozität

Das Gesetz der quadratischen Reziprozität, das Gauss als das „goldene Theorem“ bezeichnete, stellt eine Beziehung her, ob eine Primzahl p ein Quadrat modulo q ist, und ob q ein Quadrat modulo p ist, und liefert ein mächtiges und unerwartet symmetrisches Kriterium für die Lösbarkeit.

Definition

Eine ganze Zahl ist ein quadratischer Rest modulo einer Primzahl p, wenn sie kongruent zu einem perfekten Quadrat mod p ist. Quadratische Reziprozität ist der Satz, der für verschiedene ungerade Primzahlen p und q die Lösbarkeit von x Quadrat kongruent zu q mod p mit der von x Quadrat kongruent zu p mod q in Beziehung setzt.

Scope

Dieses Thema behandelt quadratische Reste und Nichtreste modulo einer Primzahl, Eulers Kriterium, das Legendre-Symbol und seine Multiplikativität, das Jacobi-Symbol, die beiden Ergänzungsgesetze (für minus eins und für zwei) und das Hauptreziprozitätsgesetz selbst, einschließlich seiner Rolle als erste Instanz der Reziprozitätsgesetze der Klassenkörpertheorie.

Core questions

• Welche Reste sind bei einer ungeraden Primzahl p Quadrate, und wie entscheidet Eulers Kriterium darüber?
• Wie kodieren das Legendre- und Jacobi-Symbol Restinformationen und verhalten sich multiplikativ?
• Was genau besagt das Reziprozitätsgesetz, und wie behandeln die Ergänzungen minus eins und zwei?
• Warum wird die quadratische Reziprozität als Prototyp der höheren Reziprozitätsgesetze der Klassenkörpertheorie angesehen?

Key theories

Eulers Kriterium und das Legendre-Symbol

Eine ganze Zahl a ist genau dann ein quadratischer Rest modulo einer ungeraden Primzahl p, wenn a hoch (p minus eins)/2 kongruent zu eins ist; das Legendre-Symbol zeichnet dieses Vorzeichen auf und ist in seinem oberen Argument vollständig multiplikativ.

Gesetz der quadratischen Reziprozität

Für verschiedene ungerade Primzahlen p und q ist das Produkt der beiden Legendre-Symbole gleich minus eins hoch ((p minus eins)/2)((q minus eins)/2), sodass die Reziprozität nur dann fehlschlägt, wenn beide Primzahlen kongruent zu drei modulo vier sind.

Ergänzungsgesetze und das Jacobi-Symbol

Separate Regeln bestimmen, wann minus eins und zwei Reste sind, und das Jacobi-Symbol erweitert das Legendre-Symbol auf zusammengesetzte Moduli, was eine effiziente Berechnung ohne Faktorisierung ermöglicht.

Clinical relevance

Reziprozität und das Jacobi-Symbol ermöglichen schnelle Algorithmen zur Entscheidung der quadratischen Residuität, die in Primzahltests (Solovay-Strassen), bei der Berechnung von Quadratwurzeln modulo Primzahlen und in kryptographischen Schemata verwendet werden, deren Sicherheit auf der Annahme der quadratischen Residuität beruht.

History

Von Euler und Legendre vermutet, wurde das Gesetz 1796 von Gauss erstmals vollständig bewiesen, der sich wiederholt damit befasste und acht verschiedene Beweise lieferte; heute sind über zweihundert Beweise bekannt. Seine Verallgemeinerung auf höhere Potenzen motivierte Eisenstein, Kummer und letztlich die Reziprozitätsgesetze der Klassenkörpertheorie.

Key figures

• Carl Friedrich Gauss
• Adrien-Marie Legendre
• Leonhard Euler

Seminal works

• irelandRosen1990

Frequently asked questions

Warum bewies Gauss denselben Satz achtmal?

Jeder Beweis beleuchtete unterschiedliche Strukturen (Gauss-Summen, Gitterpunktzählung, Zyklotomie), und Gauss suchte einen Beweis, der sich auf höhere Reziprozitätsgesetze verallgemeinern ließe, was später die Entwicklung der algebraischen Zahlentheorie vorantrieb.

Was ist der Unterschied zwischen dem Legendre- und dem Jacobi-Symbol?

Das Legendre-Symbol ist für einen ungeraden Primzahlmodul definiert und erkennt quadratische Reste exakt; das Jacobi-Symbol verallgemeinert es auf ungerade zusammengesetzte Moduli zur Berechnung, aber ein Wert von eins garantiert nicht mehr, dass die Zahl ein Rest ist.