Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren

Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren fügen einem gegebenen Modus eines Vielteilchensystems ein Teilchen hinzu oder entfernen es; sie gehorchen Kommutationsrelationen für Bosonen und Antikommutationsrelationen für Fermionen und sind die grundlegenden Bausteine der zweiten Quantisierung.

Definition

Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren sind Operatoren, die jeweils ein Teilchen in einem bestimmten Einteilchenmodus eines Fock-Raums hinzufügen oder entfernen, wobei sie Kommutationsrelationen für Bosonen und Antikommutationsrelationen für Fermionen erfüllen, aus denen alle Vielteilchenobservablen konstruiert werden.

Scope

Das Thema umfasst die Definition von Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren im Fock-Raum, die bosonischen Kommutationsrelationen und fermionischen Antikommutationsrelationen, die die korrekte Statistik erzwingen, den daraus gebildeten Teilchenzahloperator, die Konstruktion jedes Fock-Zustands aus dem Vakuum, den Ausdruck von Ein- und Zweiteilchenoperatoren und Hamilton-Operatoren in zweitquantisierter Form sowie Feldoperatoren als deren Verallgemeinerung für kontinuierliche Moden.

Core questions

• Wie wirken Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren auf Fock-Zustände?
• Warum erfordern Bosonen Kommutationsrelationen und Fermionen Antikommutationsrelationen?
• Wie werden physikalische Observablen und Hamilton-Operatoren mit diesen Operatoren ausgedrückt?
• Wie verallgemeinern Feldoperatoren diese auf kontinuierliche Moden?

Key concepts

• Erzeugungsoperator
• Vernichtungsoperator
• Kommutationsrelationen
• Antikommutationsrelationen
• Teilchenzahloperator
• Feldoperatoren

Key theories

Algebra der Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren

Ein Erzeugungsoperator erhöht die Besetzung eines Modus und ein Vernichtungsoperator verringert sie; bosonische Operatoren erfüllen Kommutationsrelationen, die eine unbegrenzte Besetzung erlauben, während fermionische Operatoren Antikommutationsrelationen erfüllen, die das Ausschließungsprinzip durch Quadrieren zu Null erzwingen.

Zweitquantisierte Operatoren und Felder

Ein- und Zweiteilchenobservablen sowie der vollständige Hamilton-Operator werden als Summen von Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren, gewichtet mit Matrixelementen, geschrieben, und ihre Kombination zu Feldoperatoren erzeugt die kontinuierliche Formulierung, die der Quantenfeldtheorie zugrunde liegt.

Clinical relevance

Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren sind die alltäglichen Werkzeuge der modernen Quantenphysik: Sie beschreiben Photonen in der Quantenoptik, Phononen und elektronische Anregungen in der kondensierten Materie sowie die Teilchenerzeugung in der Quantenfeldtheorie, und sie machen Vielteilchen-Hamilton-Operatoren kompakt genug, um sie zu analysieren und zu berechnen.

History

Dirac führte Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren 1927 bei der Quantisierung des elektromagnetischen Feldes ein, und Jordan und Wigner entwickelten 1928 die antikommutierenden Operatoren für Fermionen, wodurch der zweitquantisierte Formalismus etabliert wurde, der zur Sprache der Quantenfeldtheorie avancierte.

Key figures

• Paul Dirac
• Pascual Jordan
• Eugene Wigner
• Vladimir Fock

Seminal works

• fetterwalecka2003
• sakurai2017

Frequently asked questions

Wie stehen Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren mit dem harmonischen Oszillator in Beziehung?

Es handelt sich um dieselben algebraischen Leiteroperatoren, die zwischen den Energieniveaus des Oszillators wechseln, neu interpretiert als Hinzufügen oder Entfernen von Anregungsquanten; ein quantisiertes Feld ist im Wesentlichen eine Sammlung von Oszillatoren, einer pro Modus, wobei diese Operatoren seine Teilchen erzeugen und vernichten.

Warum müssen fermionische Operatoren antikommutieren?

Die Antikommutation lässt das Quadrat eines Erzeugungsoperators verschwinden, sodass kein Modus zwei identische Fermionen aufnehmen kann, wodurch das Pauli-Ausschließungsprinzip und die Antisymmetrie fermionischer Zustände ohne explizite Antisymmetrisierung automatisch erzwungen werden.