المخططات

المخططات هي تعميم غروتينديك الواسع للمتنوعات (varieties)، مبنية على لصق أطياف الحلقات التبادلية الاعتباطية، مما يسمح للهندسة الجبرية بالعمل على أي حلقة وتتبع المعلومات المتناهية الصغر والحسابية.

Definition

المخطط هو فضاء محلي مزود بحلقات يكون متشاكلاً محليًا مع طيف حلقة تبادلية (مخطط تآلفي)، حيث تكون النقاط هي مثاليات أولية ونسيج البنية (structure sheaf) يسجل حلقة الدوال على كل مجموعة مفتوحة.

Scope

يتناول هذا الموضوع بناء طيف الحلقة التبادلية كفضاء محلي مزود بحلقات (locally ringed space)، ويُعرّف المخططات التآلفية (affine schemes) والمخططات العامة عن طريق اللصق، ويطور تشاكلات المخططات (morphisms of schemes) ووجهة النظر النسبية. كما يعالج الخصائص الرئيسية — المخططات المختزلة (reduced)، والمتكاملة (integral)، والمنفصلة (separated)، والمناسبة (proper)، والملساء (smooth) — وجداءات الألياف (fiber products) وتغيير الأساس (base change)، ومنظور دالة النقاط (functor-of-points). ويتم التأكيد على دور العناصر العدمية (nilpotents) في التقاط البنية غير المختزلة واستخدام المخططات على الأعداد الصحيحة في الهندسة الحسابية.

Core questions

• كيف يحول الطيف الأولي للحلقة الجبر التبادلي الاعتباطي إلى هندسة؟
• ما الذي تسمح به العناصر العدمية والنقاط العامة للمخططات بالتعبير عنه ولا تستطيع المتنوعات فعله؟
• كيف تدعم المخططات النسبية وتغيير الأساس نظرية موحدة على أي أساس؟
• كيف تميز وجهة نظر دالة النقاط المخطط من خلال التشاكلات (maps) التي تتجه إليه؟

Key concepts

• طيف الحلقة وطوبولوجيا زاريسكي على الأعداد الأولية
• نسيج البنية (Structure sheaf) والفضاءات المحلية المزودة بحلقات
• المخططات التآلفية واللصق لتكوين المخططات العامة
• التشاكلات (Morphisms)، وجداءات الألياف (fiber products)، وتغيير الأساس (base change)
• دالة النقاط (Functor of points) والبنية غير المختزلة (العدمية)

Clinical relevance

نظرية المخططات هي اللغة الأساسية للهندسة الجبرية الحديثة والهندسة الحسابية؛ فقد أتاحت البراهين الكوهومولوجية لتخمينات ويل (Weil conjectures) ونتائج المعيارية (modularity results) التي تقف وراء مبرهنة فيرما الأخيرة، كما أنها تؤطر مسائل المعاملات (moduli problems) ونظرية التشوه (deformation theory).

History

بناءً على الهندسة الجبرية القائمة على الحزم (sheaf-theoretic algebraic geometry) لسير (Serre)، قدم غروتينديك المخططات في كتاب "عناصر الهندسة الجبرية" (Éléments de géométrie algébrique) في الستينيات، معممًا المتنوعات إلى أطياف الحلقات الاعتباطية وأعاد بناء المجال بأكمله على أسس كوهومولوجية وفئوية.

Key figures

• Alexander Grothendieck
• Jean-Pierre Serre
• David Mumford

Seminal works

• hartshorne1977
• eisenbud1995

Frequently asked questions

كيف يختلف المخطط عن المتنوعة؟

المتنوعة هي في الأساس مخطط متكامل ومختزل من نوع منتهٍ على حقل؛ أما المخطط العام فقد يحتوي على دوال عدمية، أو عدد لا نهائي من النقاط أو نقاط عامة، وقد يُعرّف على أي حلقة تبادلية، بما في ذلك الأعداد الصحيحة.

لماذا تشمل نقاط المخطط المثاليات الأولية، وليس فقط القصوى؟

المثاليات الأولية غير القصوى تعطي نقاطًا عامة تقع في إغلاق المتنوعات الفرعية، مما يلتقط بنية الاحتواء للمخططات الفرعية غير القابلة للاختزال ويجعل الهندسة دالية (functorial) تحت تشاكلات الحلقات.