توزيع الأعداد الأولية ونظرية الأعداد الأولية
توضح نظرية الأعداد الأولية الحدس بأن الأعداد الأولية تتناقص لوغاريتميًا: عدد الأعداد الأولية حتى حد معين يتناسب تقاربيًا مع هذا الحد مقسومًا على لوغاريتمه الطبيعي.
Definition
تنص نظرية الأعداد الأولية على أن عدد الأعداد الأولية التي لا تتجاوز x، والمشار إليها بـ pi of x، تساوي تقاربيًا x مقسومًا على اللوغاريتم الطبيعي لـ x، أو ما يعادله التكامل اللوغاريتمي لـ x.
Scope
يغطي هذا الموضوع دالة عد الأعداد الأولية وتقاربياتها، والحدود الأولية لتشبيشيف ودالتي المجموع psi و theta، ونظريات ميرتنز، ونص الإثبات التحليلي لنظرية الأعداد الأولية عبر عدم تلاشي دالة زيتا على الخط الذي يكون فيه الجزء الحقيقي واحدًا، وتقريب التكامل اللوغاريتمي، ومصطلحات الخطأ وعلاقتها بفرضية ريمان، وفجوات الأعداد الأولية واستدلالات الأعداد الأولية التوأم.
Core questions
- كيف تقيد حدود تشبيشيف وتقديرات ميرتنز كثافة الأعداد الأولية قبل النظرية الكاملة؟
- لماذا تعادل نظرية الأعداد الأولية عدم وجود أصفار لدالة زيتا على الخط الذي يساوي فيه الجزء الحقيقي واحدًا؟
- ما مدى جودة تقريب التكامل اللوغاريتمي، وكيف يعتمد مصطلح الخطأ على فرضية ريمان؟
- ما هو المعروف والمتوقع حول الفجوات بين الأعداد الأولية المتتالية، بما في ذلك الأعداد الأولية التوأم؟
Key theories
- نظرية الأعداد الأولية
- أثبتها بشكل مستقل هادامارد ودي لا فالي بوسان في عام 1896، وهي تعطي التقارب الرائد لعد الأعداد الأولية؛ البيان المكافئ لدالة تشبيشيف psi هو الشكل الطبيعي تحليليًا.
- مناطق خالية من الأصفار ومصطلحات الخطأ
- يتحكم حجم المنطقة الخالية من الأصفار لدالة زيتا إلى يسار الخط الذي يكون فيه الجزء الحقيقي واحدًا في الخطأ في نظرية الأعداد الأولية؛ فرضية ريمان قد تعطي الخطأ الأمثل من نوع الجذر التربيعي.
- فجوات الأعداد الأولية واستدلال كرامر
- متوسط الفجوات بالقرب من x هو تقريبًا لوغاريتم x؛ تتنبأ الاستدلالات الاحتمالية بتوزيع الفجوات الكبيرة والصغيرة، وقد أثبتت التطورات في الغربال وجود عدد لا نهائي من الفجوات المحدودة.
Clinical relevance
تخبر كثافة الأعداد الأولية التي تقدمها النظرية خبراء التشفير بعدد المرشحين العشوائيين الذين يجب اختبارهم للعثور على عدد أولي بحجم معين، مما يحكم بشكل مباشر كفاءة توليد مفاتيح RSA و Diffie-Hellman.
History
تكهن غاوس وليجندر بالعدد التقاربي للأعداد الأولية حوالي عام 1800. وضع تشبيشيف حدودًا عليا ودنيا صارمة في خمسينيات القرن التاسع عشر، وحدد ريمان الاستراتيجية التحليلية في عام 1859، وأكمل هادامارد ودي لا فالي بوسان البرهان في عام 1896. قدم سيلبرغ وإردوس لاحقًا برهانًا أوليًا في عام 1949.
Key figures
- Bernhard Riemann
- Pafnuty Chebyshev
- Jacques Hadamard
- Charles-Jean de la Vallee Poussin
Related topics
Seminal works
- davenport2000
Frequently asked questions
- هل تسمح لك نظرية الأعداد الأولية بالتنبؤ بالعدد الأولي التالي؟
- لا. إنها تصف الكثافة المتوسطة للأعداد الأولية على مدى نطاقات طويلة؛ ولا تحدد موقع أي عدد أولي فردي، وتبقى الأعداد الأولية غير منتظمة على نطاقات صغيرة.
- كيف ترتبط النظرية بفرضية ريمان؟
- النظرية نفسها غير مشروطة، لكن فرضية ريمان قد تحدد أصغر خطأ ممكن في التقريب، مما يتحكم في مدى انحراف العدد الأولي الفعلي عن التكامل اللوغاريتمي.