الأعداد الـ p-adic

تشكل الأعداد الـ p-adic إكمالًا بديلًا للأعداد الكسرية، واحدًا لكل عدد أولي p، حيث تُقاس القرب عن طريق القابلية للقسمة بدلًا من الحجم؛ وهي توطن نظرية الأعداد وتكشف عن حسابيات تخفيها الأعداد الحقيقية.

Definition

بالنسبة لعدد أولي p، الأعداد الـ p-adic هي إكمال الأعداد الكسرية بالنسبة للقيمة المطلقة الـ p-adic، حيث يكون العدد صغيرًا عندما يكون قابلًا للقسمة على قوة عالية من p؛ وهي تشكل حقلًا يُعد حقلًا محليًا نموذجيًا.

Scope

يغطي هذا المجال القيمة المطلقة الـ p-adic وبناء الأعداد الـ p-adic كإكمال للأعداد الكسرية، وبنية الحقول الـ p-adic والحقول المحلية الأكثر عمومية، والتحليل الـ p-adic بما في ذلك التقارب، والدوال الأسية واللوغاريتمية الـ p-adic، ومبرهنة هينسل (Hensel's lemma)، ومبدأ المحلي-العالمي الذي من خلاله تُدرس حلول المعادلات على الأعداد الكسرية عبر جميع إكمالاتها الحقيقية والـ p-adic.

Sub-topics

• local global principle
• p adic analysis
• p adic fields and local fields

Core questions

• كيف تعيد القيمة المطلقة الـ p-adic تعريف المسافة، وكيف يؤدي إكمال الأعداد الكسرية إلى إنتاج الحقل الـ p-adic؟
• ما هي البنية الجبرية والطوبولوجية للحقول الـ p-adic والحقول المحلية العامة؟
• كيف يعمل التحليل الـ p-adic، وماذا تسمح لنا مبرهنة هينسل بحله؟
• كيف يربط مبدأ المحلي-العالمي قابلية الحل على الأعداد الكسرية بقابلية الحل على الأعداد الحقيقية وجميع الحقول الـ p-adic؟

Key theories

الإكمال الـ p-adic ومبرهنة أوستروفسكي (Ostrowski)

تصنف مبرهنة أوستروفسكي جميع القيم المطلقة على الأعداد الكسرية على أنها القيمة المعتادة والقيم الـ p-adic؛ ويؤدي الإكمال بالنسبة لكل منها إلى الأعداد الحقيقية والحقول الـ p-adic، وهي الحقول المحلية ذات الخاصية الصفرية.

مبرهنة هينسل (Hensel's lemma)

متعدد الحدود الذي له جذر بسيط بمعيار p له جذر p-adic فريد يؤول إليه، لذا فإن حل المعادلات p-adic يختزل إلى حلها بمعيار p ورفعها، وهي طريقة نيوتن (Newton) الـ p-adic.

مبدأ المحلي-العالمي (هاسه)

بالنسبة للعديد من المعادلات، ولا سيما الأشكال التربيعية، فإن قابلية الحل على الأعداد الكسرية تعادل قابلية الحل على الأعداد الحقيقية وعلى كل حقل p-adic، مما يركز المشكلات العالمية في مشكلات محلية.

Clinical relevance

تُعد الحقول المحلية والأساليب الـ p-adic لا غنى عنها في الهندسة الحسابية الحديثة وبرنامج لانغلاندز (Langlands program)؛ كما أن دوال L الـ p-adic وتمثيلات غالوا (Galois representations) تُثري التخمينات (مثل تخمين بيرش-سوينرتون-داير) التي تدعم دراستها الحسابية تشفير المنحنيات الإهليلجية.

History

قدم هينسل (Hensel) الأعداد الـ p-adic حوالي عام 1897 بالقياس على متسلسلات القوى في حقول الدوال. طور هاسه (Hasse) مبدأ المحلي-العالمي في عشرينيات القرن الماضي، وأصبحت وجهة النظر الـ p-adic مركزية من خلال عمل تيت (Tate) وإيواساوا (Iwasawa) وآخرين على الحقول المحلية، ودوال L الـ p-adic، والهندسة الحسابية.

Key figures

• Kurt Hensel
• Helmut Hasse
• Jean-Pierre Serre

Seminal works

• serre1973
• koblitz1984

Frequently asked questions

بأي معنى يكون عددان قريبان p-adic؟

يكون عددان صحيحان قريبان p-adic عندما يكون الفرق بينهما قابلًا للقسمة على قوة عالية من العدد الأولي p؛ فعلى سبيل المثال، تكون القوى الكبيرة من p قريبة p-adic من الصفر، وهو عكس الحدس العادي.

لماذا نقدم الأعداد الـ p-adic على الإطلاق؟

إنها توطن الحسابيات عند عدد أولي واحد، مما يجعل العديد من المشكلات قابلة للحل: يمكن دراسة المعادلات عددًا أوليًا واحدًا في كل مرة، ويجمع مبدأ المحلي-العالمي هذه الحلول المحلية في استنتاجات عالمية.