الحلقة النويثرية

الحلقة النويثرية هي حلقة يكون فيها كل مثال (ideal) مولدًا بشكل نهائي، أو ما يعادله هو أن أمثلتها تحقق شرط السلسلة الصاعدة، وهي فرضية محدودية تجعل نظرية الأمثلة قابلة للمعالجة.

Definition

تكون الحلقة التبادلية نويثرية إذا استقرت كل سلسلة صاعدة من الأمثلة، أو ما يعادله إذا كان كل مثال مولدًا بشكل نهائي، أو ما يعادله إذا كانت كل مجموعة غير فارغة من الأمثلة تحتوي على عنصر أعظمي.

Scope

يغطي هذا الموضوع الصيغ المتكافئة لشرط نويثر، ونظرية أساس هيلبرت، والوحدات النويثرية، واستمرارية الخاصية تحت القسمة، والتموضع، والتوليد المحدود، ودورها كفرضية أساسية في الجبر التبادلي والهندسة الجبرية.

Core questions

• ما هي الشروط المتكافئة التي تحدد الحلقة النويثرية؟
• لماذا تحافظ نظرية أساس هيلبرت على كون حلقات كثيرات الحدود نويثرية؟
• كيف تنتقل خاصية نويثر إلى القسمة، والتموضعات، والجبرات المولدة بشكل نهائي؟
• لماذا تعتبر فرضية نويثر منتشرة تقريبًا في الجبر التبادلي؟

Key theories

الصيغ المتكافئة

إن شرط السلسلة الصاعدة على الأمثلة، والتوليد المحدود لكل مثال، وشرط العنصر الأعظمي على عائلات الأمثلة متكافئة، مما يعطي عدة تعريفات قابلة للتبادل للحلقة النويثرية.

نظرية أساس هيلبرت

إذا كانت الحلقة نويثرية، فإن حلقة كثيرات الحدود عليها في عدد محدود من المتغيرات تكون كذلك، لذا فإن الجبرات المولدة بشكل نهائي على الحقول وعلى الأعداد الصحيحة تكون نويثرية.

استقرار الخاصية

إن قسمة الحلقات النويثرية وتموضعاتها تكون نويثرية، والوحدات المولدة بشكل نهائي على حلقة نويثرية تكون نويثرية، لذا فإن هذه الفئة مغلقة تحت الإنشاءات القياسية للجبر التبادلي.

Clinical relevance

شرط نويثر هو فرضية المحدودية التي يقوم عليها تقريبًا كل الجبر التبادلي والهندسة الجبرية: فهو يضمن وجود التحلل الأولي، وأن الأصناف (varieties) تتحدد بعدد محدود من المعادلات، وأن الإنشاءات الرئيسية تنتهي، لذا فإن الحلقات التي تظهر في الهندسة ونظرية الأعداد تكون نويثرية في معظم الأحيان.

History

أثبت ديفيد هيلبرت نظرية أساسه في عام 1890 في سياق نظرية الثوابت، لكن شرط السلسلة الصاعدة المجرد والنظرية المنهجية للحلقات النويثرية تعود إلى إيمي نويثر في عشرينيات القرن الماضي، والتي سمي المفهوم باسمها.

Key figures

• Emmy Noether
• David Hilbert
• Emanuel Lasker

Seminal works

• atiyah1969
• eisenbud1995
• matsumura1989

Frequently asked questions

لماذا يعتبر التوليد المحدود للأمثلة فرضية مفيدة جدًا؟

يضمن أن الأمثلة، وبالتالي المجموعات الجبرية التي تحددها، توصف ببيانات محدودة، وأن السلاسل الصاعدة من الأمثلة لا يمكن أن تستمر إلى الأبد، وأن الحجج الاستقرائية تنتهي. هذه هي بالضبط الشروط اللازمة للتحلل الأولي ونظرية الأبعاد.

هل معظم الحلقات التي نصادفها في الممارسة نويثرية؟

نعم. الحقول، ومجالات الأمثلة الرئيسية، وحلقات الأعداد الصحيحة، وأي جبر مولد بشكل نهائي عليها تكون نويثرية بموجب نظرية أساس هيلبرت. توجد حلقات غير نويثرية ولكنها تعتبر غريبة نسبيًا في الهندسة ونظرية الأعداد.