تعقيد الخوارزميات وتحليلها
يُحدد تحليل الخوارزميات كيفية نمو وقت تشغيل الخوارزمية والذاكرة التي تستهلكها مع حجم المدخلات، موفرًا المفردات والأدوات التقاربية المستخدمة لمقارنة الخوارزميات وتحديد المشكلات الصعبة بطبيعتها.
Definition
تحليل الخوارزميات هو دراسة الموارد الحسابية — وبشكل رئيسي الوقت والمساحة — التي تستهلكها الخوارزمية كدالة لحجم مدخلاتها، بالإضافة إلى التقنيات المستخدمة لاشتقاق هذه الحدود للموارد والتعبير عنها ومقارنتها.
Scope
يغطي هذا المجال قياس ومقارنة استخدام الموارد الخوارزمية: الترميز التقاربي (Big-O، Big-Omega، Big-Theta)، وحل العلاقات التكرارية الناتجة عن الخوارزميات التكرارية، والتحليل المستهلك لتسلسلات العمليات، وأساسيات فئات التعقيد الحسابي واكتمال NP (NP-completeness) كما تنطبق على تصميم الخوارزميات. ويتناول أسوأ الحالات، والحالات المتوسطة، والتكلفة المستهلكة، والتمييز بين المشكلات القابلة للحل والمشكلات غير القابلة للحل. تنتمي النظرية الأوسع للحوسبة (قابلية الحوسبة، فئات التعقيد الرسمية) إلى مجال فرعي منفصل؛ هنا ينصب التركيز على تحليل الخوارزميات الملموسة.
Sub-topics
Core questions
- كيف يُعبر عن استخدام الموارد للخوارزمية بشكل مستقل عن تفاصيل الجهاز والتنفيذ؟
- ماذا يخبرنا كل من تحليل أسوأ الحالات، والحالات المتوسطة، والتحليل المستهلك؟
- كيف تُحل العلاقات التكرارية الناتجة عن الخوارزميات التكرارية للحصول على حدود تقاربية؟
- كيف يمكننا تحديد حدود دنيا تُظهر أنه لا توجد خوارزمية يمكنها أن تكون أفضل؟
- ماذا يعني أن تكون المشكلة NP-complete، ولماذا يهم ذلك للتصميم؟
Key concepts
- Big-O، Big-Omega، Big-Theta
- تحليل أسوأ الحالات والحالات المتوسطة
- علاقات التكرار
- نظرية الماستر
- التحليل المستهلك
- الحدود الدنيا
- وقت متعدد الحدود
- اكتمال NP
Key theories
- الترميز التقاربي
- تصف Big-O و Big-Omega و Big-Theta معدل نمو استخدام الموارد مع زيادة حجم المدخلات، وتتجاهل الثوابت والمصطلحات ذات الرتبة الأدنى لتمكين مقارنة الخوارزميات بشكل مستقل عن الجهاز.
- قابلية الحل واكتمال NP
- تعتبر المشكلات القابلة للحل في وقت متعدد الحدود قابلة للحل؛ ومشكلات NP-complete هي تلك التي تختزل إليها جميع المشكلات في NP، وإيجاد خوارزمية متعددة الحدود لأي منها سيحل جميعها، وهو سؤال (P مقابل NP) لا يزال مفتوحًا.
Clinical relevance
يوجه تحليل الخوارزميات كل قرار هندسي بشأن الخوارزمية أو بنية البيانات التي يجب استخدامها، ويتنبأ بكيفية توسع الأنظمة مع نمو البيانات. إن إدراك أن مشكلة ما هي NP-hard يوجه الممارسين للبحث عن طرق تقريبية أو استدلالية أو طرق خاصة بالحالات بدلاً من خوارزمية متعددة الحدود دقيقة، مما يشكل العمل عبر مجالات التحسين والجدولة والحوسبة واسعة النطوم.
History
تم استيراد الترميز التقاربي إلى علوم الحاسوب من نظرية الأعداد التحليلية وشاع استخدامه بواسطة دونالد كنوت في الستينيات والسبعينيات. تأسست نظرية اكتمال NP (NP-completeness) بواسطة ستيفن كوك (1971) ووسعها ريتشارد كارب (1972)، مما أعاد تشكيل تصميم الخوارزميات حول الحدود الفاصلة بين المشكلات القابلة للحل والمشكلات غير القابلة للحل.
Debates
- P مقابل NP
- ما إذا كانت كل مشكلة يمكن التحقق من حلولها بسرعة يمكن حلها بسرعة أيضًا (P = NP) هو السؤال المركزي المفتوح في علوم الحاسوب النظرية؛ ويُعتقد على نطاق واسع أن P لا تساوي NP، ولكن لا يوجد دليل على ذلك.
Key figures
- Donald Knuth
- Stephen Cook
- Richard Karp
- Robert Tarjan
Related topics
Seminal works
- cormen2009
- knuth1976bigo
- kleinberg2006
Frequently asked questions
- ما الفرق بين تحليل أسوأ الحالات وتحليل الحالات المتوسطة؟
- يحدد تحليل أسوأ الحالات استخدام الموارد على المدخلات الأكثر سوءًا لكل حجم، مما يوفر ضمانًا. يقدر تحليل الحالات المتوسطة استخدام الموارد المتوقع على توزيع من المدخلات، والذي يمكن أن يكون أكثر تمثيلاً للأداء النموذجي ولكنه يعتمد على افتراضات حول توزيع المدخلات.
- إذا كانت المشكلة NP-complete، فهل من المستحيل حلها؟
- لا. اكتمال NP يعني أنه لا توجد خوارزمية فعالة معروفة لأسوأ الحالات، ولكن غالبًا ما يمكن حل الحالات باستخدام خوارزميات تقريبية، أو استدلالات، أو خوارزميات أسية سريعة بما يكفي في الممارسة، أو عن طريق استغلال بنية خاصة. إنه يشير إلى تغيير في الاستراتيجية، وليس استحالة.